В этом случае неизвестные x1,x2,…, xn вычисляются по формуле:
где
- определитель матрицы A,
- определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.
Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.
Теперь рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на следующих примерах.
ПРИМЕР 3.1. Решить систему методом обратной матрицы:
В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:
Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (рис. 3.1).
Рис. 5.1
В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b в диапазоне G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9.
Установим курсор в ячейку B6, введем =и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОБР(), предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 5.2), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 5.3). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица - в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.
Рис. 5.2
Рис. 5.3
Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо выделить диапазон ячеек B6:E9, нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид изображенный на рис. 5.4.
Рис. 5.4.
Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ(), которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е. А*В≠В*А
Установим курсор в ячейку Н6, введем =и выберем функцию МУМНОЖ(). Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно (рис. 5.5) содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b).
Рис. 5.5
Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо выделить диапазон ячеек Н6:Н9,необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках H6:H9.
Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9), так как было описанной выше. (Выделяем диапазон J1:J4, в J1вводим =,затем функциюМУМНОЖ()и т.д.). В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рис. 5.6.
Рис. 5.6
ПРИМЕР 3.2. Решить систему из ПРИМЕРА 5.1 методом Крамера.
Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы A1, A2, A3, A4, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рис. 5.7).
Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.
Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:
В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 - вспомогательные.
Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.
Рис. 5.7
ПРИМЕР 3.3. Вычислить матрицу С по формуле: C=A2 +2*A*B, где
Введем исходные данные на рабочий лист (рис. 5.8).
Матрицу Aвведем в диапазон ячеекB1:D3 ,а матрицу Bв диапазон ячеекG1:I3. Для умножения матрицы А на матрицу В, выделим диапазон B5:D7 и воспользуемся функцией МУМНОЖ(B1:D3;G1:I3).
Результат вычисления A2=A*A поместим в ячейки G5:I7, воспользовавшись формулой МУМНОЖ(B1:D3;B1:D3).
Умножение (деление) матрицы на число можно выполнить при помощи элементарных операций. В нашем случае необходимо умножить матрицу из диапазона B5:D7 на число 2. Выделим ячейки B9:D11 и введем формулу =2*B5:D7.
Сложение (вычитание) матриц выполняется аналогично. Например, выделим диапазон G9:I11 и введем формул =B9:D11+ G5:I7.
Для получения результата вычислений, необходимо выделить диапазон, нажать F2 и нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Кроме того, в строке формул рабочего листа, изображенного на рис. 5.8, показано как можно вычислить матрицу С одним выражением используя функцию МУМНОЖ().
Рис. 5.8
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
1. Решить систему уравнений методом Крамера и выполнить проверку (пример № 1 и пример №2).
2. Решить систему уравнений методом обратной матрицы и выполнить проверку (пример № 1 и пример №2).
3. Выполнить действия над матрицами (пример № 3 - два варианта решения).
