Ранг матрицы и системы векторов

1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го поряд­ка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел т и п, т.е.

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь среди этих мино­ров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 1. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы (14.5).

Определение 2. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

Заметим, что в общем случае у матрицы может быть не­сколько базисных миноров.

В п. 13.2 было дано определение ранга матрицы как наи­большего числа линейно независимых ее векторов-строк (стол­бцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны. Приведенное в данном разделе определение да­ет возможность вычислять ранг матрицы, а значит, и ранг системы векторов.

Пример 1. Найти ранг матрицы размером 4 х 6:

Решение. Нетрудно видеть, что максимальный порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля, равен двум, по­скольку миноры третьего порядка должны содержать элемен­ты по крайней мере двух строк со второй по четвертую. Такие определители равны нулю либо по признаку пропорциональ­ности двух строк, либо по признаку наличия в них нулевой строки. У этой матрицы существуют три базисные строки (ли­бо 1-я и 2-я, либо 1-я и 3-я), и пять ее столбцов являются ба­зисными (либо с 1-го по 5-й, либо со 2-го по 6-й); из них и формируются все базисные миноры второго порядка.

2. Рассмотрим квадратную матрицу порядка п, т.е. когда в матрице (14.5) т = п. Как было отмечено в п. 13.2, мат­рица порядка n является вырожденной и не имеет обратной матрицы, если ее ранг r < п. Максимальный порядок минора квадратной матрицы равен n; в этом случае базисный минор равен определителю этой матрицы. Стало быть, квадратная матрица является вырожденной, если ее определитель равен нулю.