Метод элементарных преобразований (метод Гаусса)

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

ПРИМЕР. Методом элементарных преобразований найдем ранг матрицы

.

Умножим первую строку матрицы на и прибавим ко второй; затем умножим первую строку на и прибавим к третьей. Получим:

.

Матрица – трапециевидная, (базисный минор ). Следовательно, ранг матрицы тоже равен двум.

Замечание. Очевидно, что ранг треугольной или трапециевидной матрицы, не содержащей нулевых и пропорциональных строк, равен количеству строк.

Пример. Методом Гаусса найти ранги матриц

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Взяв в качестве ведущего элемента , делаем равными нулю остальные элементы первого столбца: ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (-2), к третьей строке — первую, умноженную на (-3). Получаем матрицу

У которой имеются две равные строки. По следствию 1 теоремы 3.3 одну из равных строк вычеркиваем:

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).
2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Вычеркнув предварительно нулевую строку, берем в качестве ведущего элемента , и делаем равными нулю остальные элементы первого столбца:

Последние три строки матрицы пропорциональны. По следствию 1 теоремы 3.3 две из них можно вычеркнуть:

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, .

Заметим, что , так как (см. следствие 1 теоремы 3.4).