Операции над множествами

Элементы теории множеств.

1. Множество – любая совокупность объектов, какой угодно природы, объединенных по определенному признаку. Объекты, составляющие множество называются его элементами (или точками). Множество может содержать конечное или бесконечное число элементов, а может и не содержать элементов вовсе. В последнем случае множество называется пустым и обозначается символом Æ.

2. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Пусть a, b – действительные числа, причем a < b.

Операции над множествами

3. Множества X и Y называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначение: X = Y.

4. Множество X называется подмножеством множества Y, если любой элемент множества X является элементом множества Y (рис. 1). Обозначение: X Ì Y.

Рис. 1. X Ì Y

5. Множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству X и множеству Y одновременно, называется пересечением множеств X и Y (рис. 2). Обозначение: X Ç Y.

Рис. 2. X Ç Y

6. Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств X, Y (либо X, либо Y, либо и X и Y), называется объединением множеств X и Y (рис. 3). Обозначение: X È Y.

Рис. 3. X È Y

7. Разностью множеств X и Y называется множество X \ Y, содержащее элементы множества X и не содержащее элементы множества Y (рис. 4). Обозначение: X \ Y.

Рис. 4. X \ Y

8. Дополнением множества X до множества U (X Ì U) называется множество = U \ X (рис. 5).

Рис. 5. = U \ X

9. Симметрической разностью множеств X и Y называется множество X D Y = (X \ Y) È (Y \ X) (рис. 6).

Рис. 6. X D Y

10. Прямым (декартовым) произведением непустых множеств X и Y называется множество X ´ Y, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов (x; y), первый из которых принадлежит множеству X, а второй – множеству Y.

Соответствия, типы соответствий

11. Пусть X, Y ¹ Æ. Соответствием f из множества X во множество Y называется упорядоченная тройка f = (X; Y; G_f), где множество G_f ¹ Æ и G_f Ì X ´ Y. Множество Х называется областью отправления соответствия f, множество Y – его областью прибытия, множество G_f = {(x; y) | x Î X и y Î Y} называется графиком соответствия f.

Если (x; y) Î G_f, то элемент у Î Y называется образом элемента x Î X при соответствии f, а элемент x называется прообразом элемента y. Обозначение: y = f(x).

12. Соответствие f: X ® Y из множества X во множество Y по правилу G_f называется всюду определенным, если каждый элемент множества X имеет хотя бы один образ.

13. Соответствие f: X ® Y по правилу G_f называется однозначным, если у каждого элемента множества X не более одного образа.

14. Соответствие f: X ® Y по правилу G_f называется соответствием на, если у каждого элемента множества Y есть хотя бы один прообраз из множества X.

15. Соответствие f: X ® Y по правилу G_f называется разнозначным, если у каждого элемента множества Y не более одного прообраза из множества X.