Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц называются следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк или столбцов ,

2) умножение строки или столбца на число , отличное от нуля (обозначается );

3) добавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число (обозначается или ).

Теорема. Элементарные преобразования обратимы и обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же типа:

1) обратно к ,

2) обратно к

3) обратно к

Для столбцов – аналогично.

Теорема. Любая матрица путем конечного числа элементарных преобразований может быть приведена к треугольному виду.

§ 1.10 Приведённые матриц.

Определение. Матрица называется приведённой, если в каждой её ненулевой строке найдётся хотя бы один ненулевой элемент (он называется ведущим) такой, что в его столбце остальные элементы - нули.

Например, следующая матрица имеет приведённый вид

Ведущими элементами являются в первой строке - , во второй строке - , в четвертой строке . Заметим, что ведущий элемент в строке не обязан быть единственным (см. вторую строку).

Теорема. Любая матрица путем конечного числа элементарных преобразований может быть сведена к приведенному виду.

Пример 11.

Пусть

Теперь в каждой ненулевой строке есть ненулевой элемент, в столбце которого все остальные элементы нули, т.е. матрица приведённая.

Преобразование совмещает в себе два элементарных преобразования: сначала вторая строка умножается на два, а затем из нее вычитается три третьих строки.