Основные свойства потока векторного поля

Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 2360; Нарушение авторских прав

a) ,

где S⁺– сторона поверхности S, на которой выбрана нормаль , а – сторона поверхности S, на которой берется нормаль .

б) ,

где числа, векторное поле.

в) Если поверхность S состоит из нескольких гладких частей , которые могут пересекаться разве что по своим границам, то

.

Пример 1. Найти поток векторного поля

через площадку, перпендикулярную оси OY, имеющую форму прямоугольника со сторонами, равными 1 и 2 в положительном направлении оси OY.

Рис. 6

Решение. Внашем случае

, .

.

Пример 2.Найти поток векторного поля через сферу радиуса R с центром в начале координат. Здесь радиус-вектор точки.

Решение.Так как нормаль к сфере коллинеарная вектору , то

.

Поэтому

На сфере S , поэтому ;

.

Пусть незамкнутая поверхность S взаимно − однозначно проектируется на плоскость XOY в область D_xy. В этом случае поверхность S можно задать уравнением и поток П вычисляется по формуле

.

Здесь орт нормали к выбранной стороне поверхности S находится по формуле (4) §1.

, (1)

а . (2)

Если угол γ между осью OZ и острый, то в формулах (1), (2) берется знак «+», если же угол γ тупой, то берется знак «–».

Символ означает, что в подынтегральной функции вместо z надо подставить f(x,y).

Если поверхность S взаимно − однозначно проектируется в область D_yz плоскости Y0Z, а значит, ее можно задать уравнением , то

,

где

Знак «+» берется в случае, если угол α между осью OX и нормалью острый, если же α – тупой угол, то берут знак «–». Если поверхность S взаимно − однозначно проектируется в область D_xz плоскости XОZ, а значит ее можно задать уравнением , тогда

dxdz,

где , .

Если угол β между осью 0Y и острый, то берут знак «+», если же угол β – тупой, то берут знак «–».

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Поток векторного поля	\|	Теорема Стокса