Уравнения, содержащие неизвестное под знаком аркфункций

Теперь изучим уравнения, содержащие неизвестное под знаком аркфункций.

Начнем с рассмотрения простейших уравнений.

Простейшими уравнениями мы будем называть уравнения вида:

, ,

, ,

в которых требуется найти неизвестное по заданному значению одной из аркфункций. Рассмотрим подробнее одно из этих уравнений. Возьмем, например, первое уравнение

Это уравнение не всегда имеет решение. В самом деле, значения функции заключены на сегменте , а поэтому данное уравнение может иметь решение только в том случае, если выполнено неравенство . При соблюдении этого условия получаем единственное решение уравнения:

.

Аналогично рассматриваются прочие простейшие уравнения. Уравнение

имеет единственное решение:

при условии и не имеет решений, если не принадлежит сегменту .

Уравнение

имеет единственное решение:

при условии, если принадлежит интервалу .

Уравнение

имеет единственное решение:

,

если принадлежит интервалу . Непосредственно приводятся к простейшим уравнения линейные относительно аркфункции, под знаком которой содержится неизвестное. В качестве примера рассмотрим уравнение

.

Решая это уравнение относительно , получим

,

или, полагая

,

придем к простейшему уравнению:

.

Не представляет затруднений рассмотрение уравнений, в которых под знаком аркфункции содержится какая-либо функция от неизвестного. Так, например, уравнение

,

где

,

равносильно уравнению

,

не содержащему аркфункций.

Примеры:

1) .

Решение. .

2)

Так как , то уравнение не имеет решений.

3) Решить уравнение

.

Решение.

, ,

откуда

.

4) Решить уравнение

.

Решение.

; ,

откуда

; .

Рассмотрим уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком лишь одной аркфункции. Возьмем, например, уравнение:

.

Введем новое неизвестное , тогда получим:

.

Пусть ; ;… — корни уравнения , тогда корни уравнения находятся путем решения простейших уравнений:

; ;…

Решим, например, уравнение

.

Корни квадратного уравнения

суть

и .

Из двух простейших уравнений

и

только второе дает решение данного уравнения

.

Первое не имеет решений, потому что .

Уравнение

,

содержащее неизвестное под знаками арксинуса и арккосинуса, приводится к уравнению рассмотренного типа. В самом деле, воспользовавшись тождеством

,

можно выразить одну из аркфункций через другую и, подставив в данное уравнение, получить уравнение, содержащее лишь одну аркфункцию. Это же замечание относится к уравнениям вида

.

Рассмотрим, например, уравнение

(где ),

заменяя в этом уравнении через , получим

,

или

,

откуда

.

Уравнение имеет решение только при выполнении условия

;

при указанном условии получим

.

Пример:

.

Решение. ; и .

По итогам проекта можно сказать о том, что мы ответили на поставленные проблемные вопросы. Теорию аркфункций мы построили по сходной схеме с тригонометрическими функциями, выяснили и показали на примерах применимость теорем сложения к аркфункциям, изучили типы соотношений между аркфункциями и рассмотрели способы их доказательства.

Список литературы

1. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Алгебра и начала анализа, ‑ М.: Просвещение, 2001.

2. А. Савин, Тригонометрия, Квант, 1996, №4.

3. А.П. Ершова, В. В. Голобородько, Алгебра. Начала анализа, М., 2003.

4. В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович, Практикум по решению математических задач, М., 1984.

5. В.С. Крамор, П.А Михайлов, Тригонометрические функции, М., 1983.

6. Г. И. Фалин, А. И. Фалин, Обратные тригонометрические функции. 10-11 классы, М., 2012.

7. Е. Н. Дядлук, Л. А. Милосердова, http://festival.1september.ru/articles/211112/

8. П.Я. Кожеуров, Тригонометрия, М., 1963

9. С.И. Новоселов, Обратные тригонометрические функции, М., 1950

10. Ю.М. Колягин, Ю.В. Ткачёв, Алгебра и начала анализа, М., 2011.

11. http://web-tutor.narod.ru/Pages_1024x768/TrigArcFun.htm

12. http://www.mathematics.ru/courses/function/content/chapter2/section3/paragraph4/theory.html

13. http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri14.htm