Функция котангенс

Область определения функции— множествовсех действительных чисел, кроме чисел Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения. ctg x = 0при ctg x > 0 для всех ctg x < 0для всех Функция убываетна каждом из промежутков

1.2. Тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел

Комплексное число изображается на плоскости точкой или, эквивалентно, вектором с координатами (рис.1), и при таком способе задания операции сложения будет соответствовать векторное сложение. Плоскость называется комплексной плоскостью, ось - действительной осью и - мнимой осью.

Рис.1.

В полярной системе координат на комплексной плоскости число будет определяться парой действительных чисел (рис.1). Из уравнений, связывающих декартовую и полярную системы координат, следует:

(8)

и имеет смысл модуля , а называется аргументом числа , . С использованием (8) число запишется как

(9)

и называется тригонометрической формой записи комлексного числа . Отметим, что аргумент определен с точностью до целого кратного , что записывается как

(10)

Выражение в скобках формулы (9) может быть преобразовано с помощью соотношения:

(11)

которое называется формулой Эйлера и позволяет получить еще один способ записи комплексных чисел

(12)

Выражение (12) называется показательной формой записи комплексного числа и является одной из наиболее часто встречающихся в комплексном анализе. Использование символа экспоненты в (11) указывает на то, что эта величина должна обладать и теми же свойствами. Доказательство последнего утверждения будет удобнее рассмотреть на примере.

Пример 1-3.Доказать следующие свойства экспоненты с чисто мнимым показателем:

1. 2. 3.