КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Координаты точки – это числа, соответствующиеее проекциям на оси координат. Проекциями произвольного отрезка на оси координат являются проекции этого отрезка на оси координат.

Для вектора , имеющего начало в точке О(0;0), координаты точки А являются

координатами вектора. Записывается: { х_А; у_А }. Такая запись называется: «Запись вектора в координатной форме». Пусть А(3;2), тогда { 3;2 }.

При выполнении действий с векторами единицы масштаба

у называют координатными векторами(ортами) и обозначают: по оси

абсцисс, и по оси ординат и по оси аппликат.
В нашем случае = 3 =2 (на плоскости)

проекция вектора на ось 0х равна 3 ; на ось 0у равна 2 .

у_А А (3;2)

И по правилу сложения векторов = х +у .

Такая запись называется: «Разложение вектора по ортам»

в нашем случае = 3 +2 .

0 х_А х

Если начало вектора не совпадает с началом координат, то координатами вектора являются его проекции на оси координат: (х_В– х_А, у_В– у_А). И тогда в координатной форме вектор записывается: { (х_В–х_А); (у_В–у_А) }. В нашем случае: А(1;3), В (4;5), и в координатной форме вектор записывается: { 3; 2 }, а егоразложение по ортам: = 3 + 2 .

у

у_В В (4;5) В прямоугольном треугольнике АСВ: катеты АС и ВС,

гипотенуза - вектор { 3; 2 }, и по теореме Пифагора

у длина вектора, или его модуль вычисляется по формуле

| | = , (1)если

у_А А(1;3) С заданы координаты точек А и В;

или | | = , (2)если

векторзадан в координатной форме или в виде

0 х_А х х_В х разложения по ортам.

Если 0х, то проекции точек А и В совпадают и проекция вектора ось 0х равна 0

у z Для трехмерного пространства

пр._О_z

пр._Оу

0у

На плоскости пр._Ох = 0

х

Для трехмерного пространства во всех формулах добавляется третья координата:

{ (х_В–х_А); (у_В–у_А);(z_B - z_A)},

= x + y +z

| | = .

Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: пр._Ох = | | ·cos .

Проекция вектора на ось положительное число (+),если

направление вектора совпадает с положительным направлением оси,

х т.е. = пр._Ох = | | ·cos .

Проекция вектора на ось отрицательное число (–),если

вектор и ось имеют противоположные направления.

или если < < π пр._Ох = - | | ·cos .

х

1.Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.

2. В данной системе координат каждый вектор имеет единственный набор координат.

3. Координаты вектора, отложенного от произвольной точки, равны разности
соответствующих координат его конца и начала.

4.Векторы параллельны (коллинеарные) тогда и только тогда, когда их координаты
пропорциональны

1.Записать координаты вектора: = 4 + 5 + 3 z

= 4 + 5 +3 { 4; 5; 3}

Графически это означает: 3

А (4;5; 3)

0 5 у

х А₁(4;5)

2. Записать координаты векторов:

= – 4 + – { –4; 1; –1 }

= – 2 + { 0; – 2; 1 } ; = + { 0; 1; 1}

= – {–1; 0; 1 }; = 0,7 { 0; 0; 0,7}

3. Если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам конца вектора. Векторы ₁ ; ₁; ₁; ₁ в этом случае называются радиус-векторами.

Упрямоугольного параллелепипеда ОА = 2, ОС = 3, ОО₁ = 2.

Найдите координаты векторов ₁ ; ₁; ₁; ; ; ;

z

O₁ А₁ (2; 0; 2) ₁ { 2; 0;2 } ₁ = 2 + 2 ,

С₁

A₁В₁

₂

O ₃С В₁( 2; 3; 2) ₁ { 2; 3; 2} ₁ = 2 + 3 + 2

₂у

х A BО₁( 0; 0; 2) ₁ { 0; 0; 2} ₁ = 2 ,

С₁(0,3;2); О₁(0,0;2); А(2,0;0); С(0,3;0); В( 2; 3; 0)

{ - 2,3; 2 } ; {- 2, 0; 2 } ; { 0; 3; -2}

4.Найти длину радиус- векторов , , , если А(0,2;5); В(-1; 3; ); С(3; -2; 2 ).

| | = = =

| | = = = 4

| | = = = 5

5.Даны две координаты вектора {4; -12; z} . Найти его третью координату, если:| | =13

| | = 13² = 16 + 144 +z² z² = 9 z = ± 3

6. Какие координаты имеет вектор , если А(1;2;3): = + 2 + 3

А(-5;4;-1): = -5 + 4 -

7. Назовите координаты векторов: а) =– 2 + 6 ={ – 2; 6 }

б) = + 3 { 1; 3} в) = – 3 { 0;– 3} d) = – 5 { –5; 0}

8. Разложите по координатным векторам , если А(0;0;2) и С(0;2;0)

= 0 + 2 –2 , = 2 –2

8. Даны точки А(2; –3: 0); В(7; –12; 18); С (–8; 0; 5). Записать координаты векторов

; ; { 2; –3: 0} { 7; –12; 18 } { –8; 0; 5}

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА
ЧИСЛО.

Векторная алгебра - раздел математики, изучающий векторы. Векторная алгебра является одним из основных средств исследования в физике и разных разделах математики. В векторной форме записываются многие законы физики и механики, И в геометрии аппарат векторов позволяет кратко записывать формулировки задач и их решения, например, теорема о средней линии треугольника в векторной форме записывается так

А , а доказывается в одну строку:

К L

В С

Чтобы объединить преимущества координатного и векторного методов, для векторов введены координаты. Это позволяет свести действия с векторами к аналогичным действиям с их координатами, и проводить действия с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.