Производная вектор-функции и правила дифф.

Введем понятие производной векторной функции

. (1.8)

Предполагаем, что начало вектора находится в начале системе координат (рис.1.2).

Рис. 1.2

Возьмем фиксированное значение параметра, соответствующее какой-либо точке определенной точке на кривой, заданной уравнением (1.8), и дадим параметру приращение . Тогда получим вектор:

,

который определяет некоторую точку . Найдем приращение вектора:

(1.9)

На рисунке, где , . Вектор приращения определяется вектором .

Рассмотрим отношение приращения вектор-функции к приращению скалярного аргумента; это есть вектор коллинеарный с вектором . При этом вектор в сторону, соответствующую возрастанию параметра .

Далее с учетом (1.9) вектор можно представить в виде

.(1.10)

Если функции имеют производные при выбранном значении параметра , то множители при в равенстве (1.10) в пределе при обратятся в производные .

Значит, .

Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу . Ее обозначают или . Итак,

. (1.11)

Выясним направление вектора . Заметим, что при точка стремится к точке и поэтому секущая стремится к касательной в точке . Отсюда, производная является вектором, касательным к годографу вектор-функции , направленным в сторону, соответствующую возрастанию параметра .

Из (1.11) следует, что

. (1.12)

Дифференциал длины дуги кривой равен

,

откуда

. (1.13)

Из (1.12) и (1.13) имеем

. (1.14)

Таким образом, модуль производной вектор-функции равен производной от длины годографа по аргументу .

Правила дифференцирования вектор-функции:

1. Если - постоянный вектор, то .

2.

3. , где -скалярная функция.

4. , скалярное произведение.

5. , векторное произведение.

Последовательным дифференцированием можно найти производные высших порядков

и т.д.

7,8) Геометрический смысл производной вектор-функции

Pdf файл

9)Параметрическое уравнение циклоиды

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически кактраектория фиксированной точки производящей окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой.

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса .

· Циклоида описывается параметрически

,

.