Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Бесконечный ряд, построенный из функциональной последовательности

f_n (x) = f₁ (x) + f₂ (x) + … + f_n (x) + …

называется функциональным рядом.

Значение х = х₀, прикоторомчисловойряд сходится, называетсяточкойсходимостирядаСовокупностьвсех точек сходимостиряда называется областьюсходимости ряда. S_n (x) = f_s (x).

Областью сходимости функционального ряда обычно бывает какой-нибудь промежуток оси Ох.

Сумму n первых членов ряда (n-ю частичную сумму) обозначают через S_n(x) , а остаток ряда обозначают через R_n(x). Функциональный ряд сходится при некотором значении х, если существует конечный предел

и .

S(x) – сумма функционального ряда. Ее можно представить в виде S(x) = S_n(x) + R_n(x). Каждому значению х из области сходимости соответствует определенное значение S(x).

Разность между суммой S (x) сходящегося функционального ряда и одной из его частичных сумм S_n (x) называют остатком и обозначают

R_n (x) = S (x) – S_n (x) = f_s (x).

Признак Вейерштрасса

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Можно рассматривать и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

, , , — сходится. Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Применим критерий Коши: Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно , . Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.