Задачи для самостоятельного решения

Теоретические упражнения

1. Доказать, что функция, аналитическая в области D, имеет производные всех порядков в этой области (бесконечно дифференци-руема).

2. Доказать, что функция, гармоническая в области D, имеет непре-рывные частные производные всех порядков в этой области (бес-конечно дифференцируема).

Задачи

1. Найти радиусы сходимости рядов

а)

Решение: а)по формуле Коши – Адамара
где

так как

то

Значит, радиус сходимости ряда R=1;

б)так как коэффициенты

то

Тогда радиус сходимости ряда

2.Найти первые три члена разложения функции f(z) = ctg z
в ряд Тейлора в окрестности точки

Решение. Найдем f(1), f '(1), f ''(1).

Тогда согласно (1)

3.Найти первые 6 членов разложения функции в ряд по степеням z.

Решение. По условию задачи надо получить разложения функции ряд по степеням z до включительно. Воспользуемся известными формулами разложений функций sinz , и, оставив в этих разложениях только члены до включительно, получим:

4.Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности указанных точек и найти радиусы сходимости R и области сходимости рядов:

a)

в)

д)
б)

г)

е)

Решение: а)запишем дробь в виде:

Когда последняя дробь является суммой бесконечно убывающей геометрической прог-рессии и можно записать

Этот ряд сходиться при , поэтому радиус сходимости ряда R= и областью сходимости будет круг . Заметим, что радиус сходимости полученного ряда можно найти и по формуле Коши – Адамара;

б)Разложив функцию на простые дроби, получим

Когда одновременно полученные дроби разлагаются в бесконечно убывающие геометрические ряды и

Радиус сходимости полученного ряда равен 2 и областью сходимости ряда является круг ;

в)заметим, что

Последняя дробь разлагается в ряд

который сходится внутри круга . Следовательно, этот ряд мож-но почленно дифференцировать:

Радиус сходимости полученного ряда равен 1 и ряд сходится в круге ;

г) выполним преобразования:

Это разложение справедливо, когда одновременно т.е. Следовательно , R= и ряд сходится в круге

д)так как надо получить ряд по степеням (z 1), то, записав в виде

и разложив и в ряды, получим:

Так как разложения sinz и cosz справедливы для всех z, то R=+∞ и ряд сходится во всей комплексной плоскости;
е) выразив sinz через показательную функцию получим:

Здесь было использовано равенство:

Полученный ряд сходится во всей комплексной плоскости и R=+∞.

Задачи для самостоятельного решения

1.Найти рудиусы сходимости рядов

а)
б)

2.Найти первые три члена разложения функции в ряд Тейлора в окрестности в точки .
3.Найти первые 6 членов разложения следующих функций в ряд по степеням z:

а)
4.Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестностях указанных точек и найти радиусы R сходимости рядов:

а)

в) ;

д)

ж)

б)

г)

е) ch z∙cos z , ;