Если дан вектор плоскости
, то его длина вычисляется по формуле
.
Если дан вектор пространства
, то его длина вычисляется по формуле
.
Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.
Пример 5
Даны точки
и
. Найти длину вектора
.
Я взял те же точки, что и в Примере 3.
Решение: Сначала найдём вектор
:

По формуле
вычислим длину вектора:

Ответ: 
Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.
Выполним чертеж к задаче:

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.
А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка
равна длине вектора
. Так же очевидно, что длина вектора
будет такой же. По итогу: 
Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки
и
. Найти длину отрезка
.
Вместо применения формулы
, поступаем так:
1) Находим вектор
.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка
равна длине вектора
:

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.
Вышесказанное справедливо и для пространственного случая
Для тренировки:
Пример 6
а) Даны точки
и
. Найти длину вектора
.
б) Даны векторы
,
,
и
. Найти их длины.
Решения и ответы в конце урока.