Свойства числовых рядов.

РЯДЫ

Числовой ряд: , члены ряда:

…

Частичные суммы числового ряда образуют последовательность:

Ряд сходится, если существует конечный предел: ; в противном случае – ряд расходится.

Классификация числовых рядов
Знакоположительные
Знакопеременные
Знакочередующиеся

Необходимый признак сходимостиряда:

- если ряд сходится, то .

- если , то ряд расходится.

Свойства числовых рядов.

1. Если сходится ряд

то сходится и ряд , полученный отбрасыванием (или приписыванием) первых n членов ряда: .

Чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы (из сходимости остатка следует сходимость исходного ряда).

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд ,

3. Если сходятся ряды

то сходится и ряд

Достаточные признаки сходимости ряда:

I признак сравнения: пусть даны два ряда и , причём , тогда:

1) если ряд - сходится, то и ряд - сходится;

2) если ряд - расходится, то и ряд - расходится.

II признак сравнения: если существует конечный предел , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Эталонные ряды (используемые для сравнения)
геометрическая прогрессия
обобщённый гармонический ряд
гармонический ряд		расходится
eсли общий член ряда – рациональная дробь , то исследовать этот ряд на сходимость можно сравнением с рядом , где

Достаточные признаки сходимости для числовых рядов с положительными членами
Название признака	Признак Даламбера:	Радикальный признак Коши:
Вывод о сходимости числового ряда	Если для ряда , существует	Если для ряда , существует
Ряд сходится
Невозможно сделать вывод о сходимости ряда
Ряд расходится
Эффективное применение	общий член ряда содержит множитель или	общий член ряда содержит выражение в степени или
Интегральный признак Коши: пусть дан ряд , где . Тогда если при непрерывная положительная и монотонно убывающая функции и , то ряд сходится, если , то расходится.

Знакопеременные ряды сходится, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов. Знакопеременный ряд в этом случае называют абсолютно сходящимся. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то его называют условно сходящимся.

Достаточный признак сходимостидлязнакочередующихсярядов - признак Лейбница:

Областью сходимости степенного ряда является круг с центром в точке , радиус которого может быть определён применением либо признака Даламбера, либо признака Коши:

или

Для любого степенного ряда существует число называемое радиусом сходимости ряда, которое обладает свойствами:

- при любом х, удовлетворяющему неравенству , ряд сходится,

- при любом х, удовлетворяющему неравенству , ряд расходится.

Промежуток называется интервалом сходимости ряда.

Вопрос о сходимости ряда на концах интервала, т.е. при исследуется отдельно.

Для определения радиуса сходимости можно использовать формулы:

или

- если , то ряд сходится в единственной точке

- если , то ряд сходится на всей числовой прямой