Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.

Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана.

Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е, то получится обратная матрица .

Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n, определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.

Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.

Если , то на место первой строки ставится k-ая строка (k>1), в которой , а на место k-ой строки ставится первая. (Строка с обязательно существует, в противном случае матрица А – вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицу А, у которой .

Теперь умножаем каждый элемент первой строки на . Так приходим к «новой» матрице А, у которой . Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А, начиная со второго, станут нулевыми.

С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.

Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с , стали нулевыми.

Если , то на место второй строки ставится k-ая строка (k>2), в которой , а на место k-ой строки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицу А, у которой . Умножаем все элементы второй строки на . После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы второго столбца матрицы А, начиная с третьего, станут нулевыми, а будет равен единице.

Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.

Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-1)-ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . К элементам (n-2)-ой строки – соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.

С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому.

Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы (n-1)-ого столбца до , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-2)-ой строки прибавляем соответствующие элементы (n-1)-ойстроки, умноженные на . К элементам (n-3)-ой строки – соответствующие элементы(n-1)-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы (n-1)-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.