Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает периодам начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года) или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Далее приняты следующие обозначения:

r (%) – простая годовая ставка ссудного процента;

r – относительная величина ставки ссудных процентов;

I_г – сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

I – общая сумма процентных денег за весь период начисления;

P – величина первоначальной денежной суммы;

S – наращенная сумма;

k_н – коэффициент наращения;

n – продолжительность периода начисления в годах;

t – продолжительность периода начисления в днях;

Y – продолжительность года в днях (является временной базой для расчётов процентов).

Приведённым выше определениям соответствуют следующие формулы:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

; (1.5)

; (1.6)

Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), получаем основную формулу для определения наращенной (будущей) суммы:

, (1.7)

или

. (1.8)

Полученную формулу иногда называют «формулой простых процентов». В виде (1.7) она используется в случае, если срок операции измеряется в годах, а в виде (1.8) – если срок измеряется в днях[4, с.6].

Заметим, что в случае измерения срока операции в днях t и Y могут быть выражены точно и приближенно (таблица 1).

Таблица 1 – Способы расчета показателей t и Y

В зависимости от значений t и Y, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

1. t и Y измерены точно – это значит начислить точные проценты с фактическим сроком операции. Для определения t здесь пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день её начала. В России по такому принципу ведутся все банковские операции.

2. t измерено точно, а Y – приближенно. Этот способ используется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычислении в выражении t/Y знаменатель меньше, чем при расчетах в случае 1, то есть 360 меньше 365, то размер начисленных процентов при прочих равных условиях соответственно будет больше на 1,3889%.

3. t и Y измерены приближенно. Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с приближенным сроком операции при учете векселей и некоторых видах расчетов с населением.

Во всех рассмотренных случаях дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

Следует учитывать, что применение различных методов подсчета дней и годовой базы приводит к различным результатам[14, с.11].

Пример 1.1. Ссуда в размере 20000 руб. была выдана на полгода по простой ссудной ставке 10 % годовых. Определить наращенную сумму.

Решение

По формуле (1.7) получим:

S= 20000(1+0,5∙0,1)=21000руб.

Пример 1.2.Депозит размером 100000 руб. размещен под 10% годовых по простой ссудной ставке с 01.01 по 01.04 текущего года. Начислить точные проценты с фактическим сроком операции и обыкновенные проценты с фактическим и приближенным сроком операции и определить наращенную сумму.

Решение

В случае точных процентов t =31+28+31=90 дней (1 апреля не считаем, так как этот день является днем погашения ссуды) или по таблице: t = 91(порядковый номер 1 апреля) – 1 (порядковый номер 1 января) = 90 дней, Y = 365 дней; тогда по формулам (1.3), (1.2.) и (1.6):

Наращенная сумма по формуле (1.4) составит:

Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды

t =31+28+31=90 дней, Y = 360 дней, тогда

3. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды

t =30+30+30=90 дней, Y = 360 дней, тогда

В данном случае получаем одинаковое число процентных денег во втором и третьем варианте расчета.

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы P, которая в будущем должна составить заданную величину S.

Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием [10, с.50], а определение величины наращенной суммы S – компаундингом [3, с.103].

Используемую при дисконтировании процентную ставку r называют нормой дисконта.

Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:

(1.9)

Преобразуя формулу (1.7), получаем ещё несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления n₁,n₂ …. используются ставки процентов r₁, r₂ ….. то по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит:

В конце второго интервала:

При N интервалах начисления наращенная сумма составит:

(1.14)

Для множителя наращения, следовательно, имеем:

(1.15)

Пример 1.3.Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 14% годовых, а каждый последующий год увеличивается на 1 процентный пункт. Определить размер вклада 5000 руб. с процентами через 3 года.

Решение

Используя формулу (1.14), рассчитаем наращенную сумму: