Линейные обыкновенные разностные уравнения

Определение

Линейным разностным уравнением “n” порядка относительно неизвестной сеточной функции называется уравнение вида:

f(k), известные сеточные функции

y (k) – неизвестная функция

На примере уравнения второго порядка:

f(k)=e^k

Используя определения разности второго и первого порядка и преобразуем левую часть уравнения:

Уравнения может быть приведено к уравнению вида ( линейное неоднородное разностное уравнение):

1.

-известные функции

y(k)-неизвестная функция

Линейное однородное разностное уравнение имеет вид:

Примечание

Порядок уравнения определяется максимальным количеством узлов сетки, входящих в неизвестную функцию y(k+n), начинается с номера(k+1)

Определение: решением разностного уравнения (1) называется сеточная функция у=у(k) , которая удовлетворяет данному уравнению

Пример:

Проверим, что функция

Решение этого уравнения

и подставим в левую часть

Начальные условия для разностных уравнений:

(*)

Определение: Общим решением уравнения (1) называется сеточная функция

произвольные постоянные, при этом

при н.у (*)

- решение уравнения (1)-это частное решение

В однородном уравнении индексы у разностных функций могут быть произвольным образом смещены на “m” шагов

Например:

Между линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка и линейными разностными уравнениями n-го порядка много общего. Ниже приводится сравнительная таблица, показывающая аналогию между линейными дифференциальными и линейными разностными уравнениями.

Аналогия между линейным разностным уравнением и линейным дифференциональным уравнением n-ого порядка

Дифференциальные уравнения	Разностные уравнения
Однородные уравнения
Фундаментальная система решений
1) решения л.о, D:y 2) л.н.з., т.е Необходимое и достаточное условие	1) решение л. о. Р. у 2) л.н.з Необходимое и достаточное условие
Вронскиан	Определитель Казоратти
Структура общего решения
Где ф.с.р. л.о.д.у	Где ф.с.р. л.о.р.у
Структура общего решения неоднородного уравнения
- общее решение о.д.у -частное решение л.н.д.у	- общее решение л.о.р.у - частное решение л.н.р.у