Обернена матриця.

Визначимо операцію ділення матриць як операцію, обернену множенню.

Визначення.Якщо існують квадратні матриці Х и А одного порядку, що задовольняють умові:

XA = AX = E,

де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що й матриця А, те матриця Х називається оберненоюдо матриці А и позначається А^–1.

Кожна квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має обернену матрицю й притім тільки одну.

Розглянемо загальний підхід до знаходження оберненої матриці. Виходячи з визначення добутку матриць, можна записати:

AX = E Þ , i=( 1, n ), j=( 1, n ),

e_ij = 0, i ¹ j,

e_ij = 1, i = j .

Таким чином, одержуємо систему рівнянь:

,

Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А^–1.

Таким чином, А^–1= .

Однак, такий спосіб незручний при знаходженні обернених матриць більших порядків, тому звичайно застосовують наступну формулу:

,

де A_ji – алгебраїчне доповнення елемента а_ji матриці А.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А^–1.

det A = 4 – 6 = – 2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= – 2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= – 1/2

Таким чином, А^–1= .