Определение3.

Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Теорема: достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

Знакопеременный ряд сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Доказательство.

Обозначим через частичную сумму ряда : , а через − частичную сумму ряда : . Обозначим через сумму всех положительных членов, а через сумму абсолютных величин всех отрицательных членов, входящих в . Очевидно, что .

По условию теоремы ряд сходится, тогда существует , и так как последовательность − монотонно возрастающая и неотрицательная, то . ОЧЕВИДНО (НУ ОЧЕНЬ ВИДНО), что , тогда последовательности и являются монотонно возрастающими и ограниченными, причем их пределы равны и . Тогда Значит, исходный знакопеременный ряд сходится и сходится абсолютно.

Теорема доказана.

Заметьте, что эта теорема даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов. Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей (он может быть как сходящимся, так и расходящимся).

Чтобы все стало понятнее, рассмотрим несколько примеров.

Пример1. ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, (гармонический ряд) расходится.

Пример2. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд .

Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: . Составим ряд из абсолютных величин и применим к нему признак Даламбера («А что это за признак?»). Составим предел , где , . Проведя преобразования, получаем . Таким образом, ряд сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.
Ответ: ряд абсолютно сходится.

Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение.

А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов («А что это за признак?»). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, что условие 2) выполнено. Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, ЕЖУ ПОНЯТНО, что он сходится. (при условии, что ёж бесконечно умён)

Ответ: ряд условно сходится.