Метод Лагранжа (метод произвольных постоянных) для нахождения частного решения.

Дано:

Метод Лагранжа состоит в следующем:

1. Составляем однородное уравнение

(7) (8) .

Составляем и решаем характеристическое уравнение .

Находим ФСР .

Записываем общее решение однородного уравнения .

2. Частное решение будем искать в форме:

.

Имеем «n» неизвестных коэффициентов , которые нужно выбрать так, чтобы была решением уравнения (1,3). Для этого необходимо, чтобы удовлетворяли системе уравнений:

По формулам Крамера находим

( , ,…, ).

3. Решаем простейшие дифференциальные уравнения

Записываем .

4. Ответ: .

Пример 1.

1.

Характеристическое уравнение:

ФСР

2. (вид частного решения).

Система уравнений:

3.

Можно положить (частные решения)

5. Ответ: - общее решение.

Пример 2.

1.

Характеристическое уравнение:

ФСР

Общее решение однородного уравнения:

1. Частное решение ищем в виде:

Система уравнений:

Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и со специальным видом правой части.

Рассмотри линейное неоднородное уравнение:

(9)

(10)

А так же соответствующее однородное уравнение:

(7)

(8)

Если функция в правой части имеет специальный вид:

I

II

III , где и , то частное решение можно найти проще, чем по методу Лагранжа.

Правило построения частного решения для этих случаев приведены в таблице:

№	Вид правой части уравнения	Вид частного решения
1.	( известны)	( - неизвестны) «к» - кратность корня характеристического уравнения λ=0
2.	( известны)	( - неизвестны) «к» - кратность корня характеристического уравнения λ=α
3.	( - известны)	, где «к» - кратность корня характеристического уравнения

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Решить задачу Коши.

Решение:

1. однородное уравнение, соответствующее данному:

Характеристическое уравнение:

(корень кратности «2»)

ФСР

Общее решение однородного уравнения:

2. Находим частное решение

N=0 (степень многочлена)

Частное решение ищем в виде:

Чтобы найти коэффициент А используем определение решения и подставляем данную функцию и ее производные в уравнение и получим верное равенство

Итак:

3. Общее решение неопределенного уравнения:

4. Решаем задачу Коши

Ответ:

Пример 2.

;

Решение:

1. однородное уравнение

Характеристическое уравнение

ФСР

Общее решение однородного уравнения:

2. Находим частное решение по виду правой части:

Заметим, что к=1 (кратность корня)

n=0 (степень многочлена)

Как и в предыдущем примере находим А и В, используя определение решения.

Приравняем коэффициенты при одинаковых выражениях (=2sin3x)

Итак:

3. Общее решение неоднородного уравнения

4. Решаем задачу Коши.

Ответ: .

Пример 3.

Будем использовать теорему о суперпозиции решений.

Решение:

1. Однородное уравнение

Характеристическое уравнение

ФСР

Общее решение однородного уравнения:

2. Частное решение:

(степень многочлена)

(кратность «1»)

(разделим на )

А=4

(кратность к=0) n=1 (степень многочлена)

=5хsinx

Ответ: - общее решение.

Примеры для самостоятельного решения:

I Найти общее решение:

1)

2)

3)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

II Решить задачу Коши:

1)

2)

3)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

III Найти общее решение:

1)

2)

3)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

IV Решить задачу Коши:

1)

2)

3)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

V Найти общее решение:

1)

2)

3)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

VI Решить задачу Коши:

1)

2)

Ответ: 1) ; 2) .

VII Найти общее решение:

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

VIII Найти общее решение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

IX Решить задачу Коши:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

X Найти общее решение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

XI Решить задачу Коши:

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

XII Решить способом вариации постоянных (Лагранжа)

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .