Линейные неоднородные уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения

(1)

справедлива следующая

Теорема 1. Сумма общего решения уравнения однородного уравнения

и какого-либо частного решения уравнения (1) есть общее решение уравнения (1).

Не всегда удается подобрать частное решение. Поэтому большое значение имеет метод вариации постоянных, дающий возможность проинтегрировать НЛДУ , если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения .

Пусть – фундаментальная система уравнения (1'). Будем искать решение уравнения в виде

(2)

Потребуем, чтобы

(3),

Тогда

(4)

Подчиним условию

(5)

Тогда

(6)

и т.д. После того, как выполнены условия

, (7)

производная функции (2) запишется в виде

.

Наконец, потребовав, чтобы

(8)

мы получим

Итак, если функции подчинены условиям (7) и (8), то

,

, '

…………………………………….. (9)

,

Тогда

Таким образом, функция

,

при условии, что подчинены условиям (7) и (8), является решением дифференциального уравнения (1).

Условия (7) и (8) представляют собой систему

Это система линейных уравнений с неизвестными . Так как определитель этой системы есть определитель Вронского линейно независимой системы функций , то функции могут быть найдены по правилу Крамера. Но тогда интегрированием мы определим и функции .

13) НЛДУ с постоянными коэффициентами.

Другой метод интегрирования – метод неопределенных коэффициентов – применяется для НЛДУ с постоянными коэффициентами.

. (1)

Приведем сводную таблицу видов частных решений для различных видов правых частей. Через будем обозначать многочлен с действительными коэффициентами степени . Напомним, что

Сводная таблица видов частных решений НЛДУ с постоянными коэффициентами для различных видов правых частей.

	Правая часть д.у.(1)	Корни характеристического уравнения д.у.(1)	Виды частного решения
I.		1.Число не является корнем характеристического уравнения.
2. Число есть корень характеристического уравнения кратности .
II.	( – действительное число)	1. Число не является корнем характеристического уравнения.
2. Число является корнем характеристического уравнения кратности .
III.		1. Числа не являются корнями характеристического уравнения.
2. Числа являются корнями характеристического уравнения кратности .
IV.		1. Числа не являются корнями характеристического уравнения
2.Числа являются корнями характеристического уравнения кратности S