Общие сведения об анализе спектра сигналов

Очень часто математическое описание даже несложных по структуре детерминированных сигналов является весьма трудной задачей. Поэтому в теории электрических цепей и радиоэлектронике используется оригинальный прием, при котором реальные сигналы заменяют (аппроксимируют, представляют, декомпозируют) набором идеализированных математических моделей, описываемых простыми функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи. Подобным образом можно также упростить задачу синтеза сложных сигналов из совокупности простых сигналов. В начале XI века французскому физику и математику Ж. Фурье удалось доказать оригинальную теорему, которая в буквальном смысле ошеломила его скептически настроенных оппонентов. Он показал, что любое изменение во времени некоторой периодической функции можно представить (аппроксимировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. В радиоэлектронике этой функцией может быть, в частности, ток или напряжение в некоторой электрической цепи.

Столь простое представление сложного изменения во времени какой-либо физической величины в виде суммы ряда простейших гармонических колебаний могло показаться на первый взгляд лишь математическим трюком. Но это не трюк. Несложный пример доказательства рассуждений Фурье показан на рисунке 1. Периодическая, достаточно сложная по форме кривая напряжения и₁(t) (рисунок 1, а)— это сумма двух синусоид равной амплитуды, но разных частот и начальных фаз (рисунок 1, б): основной и₁(t) (первой гармоники) и удвоенной и₂(t) по отношению к ней частоты (рисунок 1, в). Для детерминированных периодических функций (сигналов) Фурье ввел разложение по различным видам рядов — тригонометрическим, комплексным и т.д. Фурье также доказал, что непериодические (импульсные) сигналы можно описать с помощью двух его преобразований — прямого и обратного.

Рисунок 1 - К анализу Фурье:

а – сложное колебание; б, в – первый и второй суммируемые сигналы

Итак, периодический электрический сигнал любой сложной формы можно представить в виде суммы гармонических составляющих, амплитуды и частóты которых могут быть определены с помощью прямого преобразования Фурье. Этот спектр гармонических составляющих можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать обозначение частот, а по оси ординат — величины амплитуд гармоник.

Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник»), то спектром колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.

Для спектрального анализа непериодических сигналов (функций) используют аппарат интегрального преобразования Фурье. При этом применяется известная формула прямого преобразования Фурье, характеризующая спектральную плотность непериодического (импульсного) сигнала:

(1)

Однако есть одно обстоятельство, общее для всех схем анализаторов, ограничивающее точность анализа спектра сигнала: теоретически прямое преобразование Фурье должно производиться во временном диапазоне от до , тогда как реальный анализ производится в течение ограниченного времени Т_а.Иными словами, текущая спектральная плотность зависит от времени анализа:

(2)

Отличие текущего спектра от спектра закончившегося процесса зависит от того, проявились ли за время наблюдения Т_а все характерные особенности сигнала. Если исследуемый анализатором сигнал периодический с периодом следования Т, то необходимо, чтобы Т_а>> Т.

Практически во всех анализаторах аналогового типа выделение гармонических составляющих сигнала производится узкополосными фильтрами. Этот метод реализуется способами параллельного (одно­временного) или последовательного анализа сигнала.