Обратная матрица

Квадратная матрица А называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

Обозначив обратную матрицу через А^-1, запишем:

1. Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А называется обратимой.

2. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы.

3. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Теорема:Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. чтобы её определитель был отличен от нуля.

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

Ø Находят определитель матрицы А.

Ø Находят алгебраические дополнения всех элементов а_ij матрицы А и записывают из них новую матрицу.

Ø Транспонируют матрицу (т.е. меняют местами столбцы со строками)

Ø Умножают полученную матрицу на

Примеры:

1. Найти матрицу, обратную матрице

Решение:

Находим определитель матрицы А:

Т.к. D≠0, то данная матрица является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица.

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента:

= ; ;

Тогда получим матрицу:

Транспонируем эту матрицу:

Умножим полученную матрицу на , т.е. на :

Проверим полученный ответ. Выполнив умножение , находим:

2. найти матрицу, обратную матрице:

Решение:

Находим определитель матрицы А:

Т.к. D≠0, то матрица А является невырожденной, а значит можно найти матрицу А^-1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

;

;

;

;

Запишем новую матрицу:

Транспонируем полученную матрицу:

Умножив полученную матрицу на , находим: