Транспонирование матриц

Операция транспонирования осуществляет взаимную замену строк и столбцов, имеющих одинаковые номера. Будем обозначать операцию транспонирования литерой T в виде верхнего правого индекса. Нижние индексы, обозначающие число строк и столбцов транспонированной матрицы, будем менять местами:

исходная матрица

, (M.1)

транспонированная матрица

. (M.11)

Свойства операции транспонирования матриц:

1) (A^T)^T = A;

2) (A_mnB_pq)^T = B_qp^TA_nm^T при условии, что n = p;

3) (αA)^T = αA^T;

4) (A + B)^T = A^T + B^T.

Существуют квадратные матрицы, у которых каждая i-ая строка идентична соответствующему i-му столбцу. Такие матрицы называются симметрическими. Симметрические матрицы не реагируют на транспонирование, т.е. A^T = A и, как следствие, a_ij = a_ji.