Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.:

D= а_i1А_i1+а_i2A_i2+…+а_inА_in

или

D=а_1jА₁j+а_2jА_2j+…+а_njА_nj

Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i-й строки или j-го столбца.

Если определитель имеет четвертый или более высокий порядок, то его также можно разложить по элементам строки или столбца, а затем понижать порядок алгебраических дополнений.

Перечислим способы вычисления определений:

1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители второго и третьего порядков, а для определителя высокого порядка применим следующий способ.

2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.

3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 7 треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Чтобы получить треугольный определитель, нужно, используя свойство 6, к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор, пока не придем к определению треугольного вида.

Например, вычислить определитель:

Вычитая первую строку из всех остальных, сразу получим определитель треугольного вида:

Примеры:

1. Вычислить определитель:

,

Разложив его: а) по элементам 1-й строки;

б) по элементам 2-го столбца.

Решение:

а)

б)

2. Вычислить определитель:

Решение:

Разложим определитель по элементам 1-й строки (так как она содержит два нулевых элемента):

=

Поскольку второй и четвертый члены разложения равны нулю, имеем: