ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

I. Ориентация тройки векторов.

Три некомпланарных вектора в пространстве образуют упорядоченную тройку, если принято соглашение, что один из них является первым , другой - вторым ( ), а оставшийся - третьим ( ) .

Каждой упорядоченной тройке (базису) приписывается ориентация - правая и левая.

Правый базис Левый базис

Рис.1

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Если рассматривать три ортонормированых базиса, среди которых один базис образует правую тройку, а другой - левую, то третий может быть совмещен либо с первым, либо со вторым. Тогда все ортонормированные базисы могут быть разбиты на два класса: правых и левых троек. В дальнейшем рассматриваемые базисы будем считать правыми.

II. Определение и геометрические свойства векторного произведения.

Определение: векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1)

2)

3) векторы образуют правую тройку.

Рис.2

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то по определению их векторное произведение равно нулю.

Пример: Пусть - правый ортонормированный базис.

Тогда

Если -левый ортонормированный базис то

Теорема : необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство : 1) необходимость: если , то и .

2) достаточность: если , то либо , либо , тогда и - коллинеарны по определению; либо .

Из определения векторного произведения следует, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

(2)

III. Алгебраические свойства векторного произведения.

Векторное произведение обладает следующими алгебраическими свойствами:

1) антикоммутативность: ;

2) ассоциативность: ;

3) дистрибутивность: ;

4) для любого вектора : .

Пример : найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и ,

если .

Решение: ;