Основное свойство направляющих косинусов

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам: Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

9 Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве

Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства тривиальная.

1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Базисом на плоскости и пространстве называется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов (добавление к системе еще одного вектора делает ее линейно зависимой).

Таким образом, базисом на плоскости являются любые два не-коллинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а базисом в пространстве — любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Пусть — базис в пространстве, тогда по Т. 3 любой вектор пространства разлагается единственным образом по базисным векторам: . Коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе

Запись линейных операций над векторами через координаты:

а) сложение и вычитание: — базис

б) умножение на число R:

Формулы следуют из свойства линейных операций.

10 Координаты вектора относительно базиса. Орты

Базисом в пространстве свободных векторов V₃ называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Пусть В:а₁,а₂,а₃ – фиксированный базис в V₃.

Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел {x, y, z}, т.ч. b=x·a₁+y·а₂+z· а₃.

Обозначение: b={x, y, z}_B Замечание: Под координатами закреплённого вектора понимают координаты соответствующего ему свободного вектора.

Теорема1:Соответствие между V₃ и R³ при фиксированном базисе взаимно однозначно, т.е. b V₃ ! {x, y, z} R³ и {x, y, z} R³ ! b V₃,т.ч. b={x, y, z}_B

Соответствие между вектором и его координатами в данном базисе обладает следующими свойствами:

_1. Пусть b₁={x₁, y₁, z₁}_B, b₂={x₂, y₂, z₂}_B b₁+ b₂={x₁+ x₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂}_B

_2. Пусть b={x, y, z}_B, λR λ·b={ λ·x, λ· y, λ·z}_B

Скалярное произведение векторов через их координаты

Скалярное произведение векторов X, Y, Z и :

где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Угол между векторами

Условия ортогональности векторов.

Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю a· b= 0

Так в случае плоской задачи вектора

a= {a_x;a_y}и b= {b_x;b_y}

ортогональны, еслиa· b= a_x · b_x + a_y · b_y= 0

12 векторное произведение векторов, его свойства. Условие коллинеарности векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;

2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;

3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ). Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: .

Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и : .

Само векторное произведение может быть выражено формулой ,

где - орт векторного произведения.

Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .

Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:

, ,

то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой

,или

.

Вектор коллинеарен ненулевому вектору в том и только в том случае, когда координаты

вектора пропорциональны соответственным координатам вектора , т. е.

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в пространстве, производятся аналогично.

13 смешанное произведение векторов. Его свойства. Условие компланарности векторов

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

15различные виды уравнения прямой и плоскости

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.