Определение 19.Прямоугольной системой координат в пространственазывается тройка взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющие общее начало и совпадающее с точкой пересечения.
Оси, составляющие прямоугольную систему координат в пространстве называются координатными осями и обозначаются , и :
– ось абсцисс;
– ось ординат;
– ось аппликат.
Положение каждой точки пространства определяется тремя вещественными числами. Этими числами являются:
1) проекция точки на ось ; обозначают ;
2) проекция точки на ось ; обозначают .
3) проекция точки на ось ; обозначают .
Рис. 21
Определение 18. Упорядоченная тройка чисел называется прямоугольными (декартовыми) координатами точки пространства и обозначается .
Каждой точке пространства соответствует единственная упорядоченная тройка числе и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная точка пространства .
Координатные оси , и делят пространства на восемь октантов. Каждая точка , не принадлежащая координатным осям, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки:
Октант
Знаки
Октант
Знаки
На каждой из координатных осей выберем единичный вектор с началом в точке и концом в точке с координатой . Обозначим:
– единичный вектор оси ;
– единичный вектор оси ;
– единичный вектор оси .
Эти три единичных вектора называются ортами. Они образуют декартов ортогональный базис.
Рассмотрим вектор в пространстве. Отложим его из начала координат (рис. 22). Через его конец проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Получим прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является вектор .
Рис. 22
Из рис. 22 ясно, что:
.
Векторы , и являются составляющими вектора . Представив составляющие с помощью произведения проекции на единичный вектор, получим
, , .
Обозначив
, , ,
будем иметь
.
Полученная формула называется разложением вектора на составляющие по координатным осям. Числа называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Координаты вектора будем записывать в виде
.
Вектор с началом в начале координат и концом в точке называется радиус-вектором точки . Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки :
или .
Пусть и – произвольные точки пространства. Координаты вектора вычисляются по формуле
или
.
Для получения координат вектора из координаты конца нужно вычитать соответствующие координаты начала.
Если известны координаты вектора, то линейные операции над векторами можно заменить соответствующими арифметическими операциями над координатами.