Основные определения

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Лекция

Основные определения. Действия над векторами: умножение вектора на число; сумма векторов; разность векторов. Числовая ось. Единичный вектор. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Системы координат: декартова система координат на плоскости; декартова система координат в пространстве. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов: определение скалярного произведения; свойства скалярного произведения. Векторное произведение двух векторов: определение векторного произведения; свойства векторного произведения. Смешанное произведение трёх векторов: определение смешанного произведения; свойства смешанного произведения

Основные определения

В физике и технических науках встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Эти численные значения являются вещественными числами. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами являются длина, площадь, объём, масса, температура и др.

Наряду со скалярными, встречаются величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве, например, сила, скорость, ускорение и т.д. Такие величины называются векторными. Они описываются с помощью векторов.

Определение 1. Вектором (свободным вектором) называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление.

О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор. Одна из ограничивающих его точек принимается за начало, другая – за конец, который на рисунке показывается стрелкой. Если началом вектора является точка , а конец точка , то используется обозначение (рис. 1, рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

Определение 2. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора обозначается (аналогично, ).

Определение 3. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается .

Очевидно, что длина нулевого вектора равна нулю: . У нулевого вектора направление не определено. В качестве направления нулевого вектора можно брать желаемое в данный момент направление.

Определение 4. Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону, и противонаправленными, если они направлены в разные стороны.

На рис. 3 приведены примеры сонаправленных векторов и , и противонаправленных векторов и .

Рис. 3

Определение 5. Векторы и называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов и обозначается .

Если векторы и равны, то при соединение начало вектора с началом вектора , а конец с концом получится параллелограмм (рис. 4). Верно и обратное правило: если при соединении начало вектора с началом вектора , а конца с концом получится параллелограмм, то векторы и равны.

Если векторы обозначены своими концами и , то равенство эквивалентно тому, что четырёхугольник является параллелограммом (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5

Определение 5. Вектор называется противоположным вектору , если они противонаправлены и имеют одинаковую длину. Если вектор противоположный вектору , то обозначается .

Если вектор обозначен с помощью его концов , то для обозначения противоположного вектора можно использовать любое из двух обозначений или .