Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 1085; Нарушение авторских прав

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. .

2) общий член ряда стремится к нулю: . При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Пусть дан знакопеременный ряд , где – произвольные числа (действительные или комплексные). Если ряд , составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд также сходится. В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Следовательно, если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.

Пример 1.Исследовать на сходимость ряд Решение. 1. Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда: = .Сравним этот ряд с рядом . Так как < , то > для всех n.Ряд расходится, так как расходится ряд (как ряд Дирихле при p= <1). Значит, по 1-му признаку сравнения расходится и ряд .

Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.

· Проверим, выполняется ли неравенство > для абсолютных

величин членов данного ряда:

= > .

Данное неравенство эквивалентно неравенству < , которое верно для любого n=1,2….Значит для все номеров n = 1,2…

· Найдём предел общего члена ряда: = = 0.

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится, однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.

Задание 6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>

Понятие знакопеременного ряда | Понятие функционального ряда