Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) одинаковых размеров т´ п называется матрица С того же размера, элементы которых равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. С=А + В = (a_ij + b_ij) для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

1. А + В = В + А (переместительный закон)

2. (А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

3. А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т´ п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если А = (a_ij) и В = (b_ij), то b_ij = - a_ij. Матрица В называется матрицей, противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (a_ij) размером т´ п на число l называется матрица (la_ij) тех же размеров, которая обозначается lА.

Свойства умножения матрицы на число:

1. a(bА) = (ab)А.

2. (a + b)А = aА + bА.

3. a(А + В) = aА + aВ.

4. 1×А = А.

Разность двух матриц А и В одинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (a_ij) размеров т´ п на матрицу В = (b_ij) размеров n´k называется матрица С = (с_ij) размеров m´k, каждый элемент с_ij которой вычисляется по формуле

с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj , i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n. (2)

Другими словами, элемент с_ij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание: Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы сомножителя В. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

1. Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров 2´3. Пусть С = (с_ij), тогда по формуле (2) получаем

с₁₁ = 2×(-1) + 3×2 = 4, с₁₂ = 2×2 + 3×1 = 7, с₁₃ = 2×0 + 3×(-1) = - 3,

с₂₁ =(-1)×(-1) + 4×2 = 9, с₂₂ =(-1)×2 + 4×1 = 2, с₂₃ = (-1)×0 + 4×(-1) = - 4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц в некоторых отношениях похоже на умножение чисел, а в других отношениях отличается от умножения чисел.

1. Для чисел ab = ba. Для матриц из существования произведения АВ даже не следует существование произведения ВА (см. пример 1 из предыдущего пункта). Если оба произведения АВ и ВА существуют, то это могут быть матрицы разных размеров (см. примеры 4 и 5 из предыдущего пункта). Даже если матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размеры, в общем случае АВ ¹ ВА. Например,

2. Если для чисел ab = 0, то один из сомножителей равен нулю. Но для матриц, как видно из приведенного примера, равенство АВ = О может выполняться и в случае, когда А ¹ О и В ¹ О.

3. Умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется ассоциативному закону:

(АВ)С = А(ВС).

4. Известно, что сложение и умножение чисел связаны дистрибутивным законом. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения для матриц выражается двумя равенствами:

(А + В)С = АС + ВС,

А(В + С) = АВ + АС.

5. a(АВ) = (aА)В = А(aВ).