Матрицы

ТЕМА № 1

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Матрицы

Определение. Матрицей размером т´п называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа a_ij, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(a_ij)= (1)

Первый индекс i (i = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй j (j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать заглавными буквами, например А, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называется строкой, а вертикальный – столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Определение. Если же m ¹ n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (a_ij) размером т´ п, В = (b_ij) размером p´q. A = B, если m = p, n = q и a_ij = b_ij для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i = j) называется главной диагональю матрицы (a_11, a_22, a_33,…,a_nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (a_ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей Е.

А =

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Определение. Матрицу А^t называют транспонированной по отношению к матрице А,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками.

Например, пусть А - матрица размеров т´ п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице А^t называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

1) (A^t)^t = A,

2) (A + B)^t = A^t + B^t,

3) (aA)^t = aA^t,

4) (AB)^t = B^tA^t.