Отношения между множествами

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, английский математик Джон Венн (1834 - 1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Леонард Эйлер (1707 - 1783) для этих целей использовал круги, при этом точки внутри круга считались элементами множества. Такие изображения сейчас называют диаграммами Эйлера - Венна.

Пусть даны два произвольных множества A и B, тогда возможны пять случаев отношений между ними:

1. Множества A и B не имеют общих элементов (см. рис. 1а).

2. Множества A и B имеют общие элементы, но не все элементы множества A принадлежат множеству B , и не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о пересечении множеств A и B (см. рис. 1б).

3. Все элементы множества B принадлежат множеству A, но не все элементы множества А принадлежат множеству В. В этом случае говорят о включении множества В во множество А (см. рис. 1в).

Определение: Если имеются два множества A и B, причем каждый элемент множества В принадлежит множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. Записывается это так: В Ì А.

Само множество A и пустое множество Øназывают несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества называются собственными.

4. Все элементы множества A принадлежат множеству B, но не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о включении множества A во множество B (А Ì В) (см. рис. 1г).

5. Все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят, что множества A и B равны (см. рис. 1д).

Определение: а) Два множества A и B называются равными (или совпадающими), если А Ì В и В Ì А.

б) Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывается это так: А = В.

 

а) б) в) г) д)

Рис. 1

Определение: Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Универсальное множество будем обозначать буквой U.