Аксиомы теории множеств

Ниже мы приводим перечень аксиом теории множеств, которые использовались различными математиками для построения аксиоматической теории множеств. Этот перечень не является полным, в него включены аксиомы, посвященные основам теории множеств. Существует ряд аксиом, связанных с более глубокими понятиями в теории множеств. Перечисленные ниже аксиомы нельзя рассматривать и как единый набор, так как в совокупности они являются зависимыми.

1. Аксиома объемности. Если множества А и В составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.

2. Аксиома существования пустого множества. Существует такое множество Æ, что ни один элемент х ему не принадлежит.

3.Аксиома пары. Для произвольных а и b существует множество, единственными элементами которого являются а и b.

4. Аксиома суммы.Для каждого семейства множеств А существует множество S, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству Х, принадлежащему А.

5. Аксиома степени. Для каждого множества А существует семейство множеств Р, элементами которого являются все подмножества множества А и только они.

6. Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств А, которому принадлежит Æ и если, ХÎА, то в А найдется элемент Y, состоящий из всех элементов множества Х и самого множества Х.

7. Аксиома выбора. Для каждого семейства А непустых непересекающихся множеств существует множество В, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств Х, принадлежащих А.

8. Аксиома выделения для высказывательной функции Ф. Для произвольного множества А существует множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые (будучи подставлены на место переменных х) удовлетворяют Ф.

9. Аксиома замены для высказывательной функции Ф. Если для каждого х существует единственный элемент у, такой что выполняется Ф(х, у), то для каждого множества А существует множество В, состоящее из тех и только тех элементов у, которые при некотором хÎА выполняют Ф(х,у).

10. Аксиома регулярности. Для любого непустого семейства множеств А существует такое множество Х, что ХÎА и ХÇА = Æ.

В систему аксиом Цермело (первую предложенную систему аксиом) входили аксиомы 1, 5, 6, 7, 8. В системе Цермело-Френкеля аксиома 8 была заменена на аксиому 9. В настоящее время системы аксиом различаются по типам: наиболее известными считаются системы Цермело-Френкеля и Геделя-Бернайса. Обычно в систему аксиом Цермело-Френкеля включают аксиомы 1-6, 9.