Функция

Пусть Х и У два множества и F отношение в Х´У.

Определение. Отношение F называется функциейиз Х в У, если оно удовлетворяет свойству:

из xFy и xFz следует, что y = z.

В дальнейшем мы будем применять также обозначение y = F(x) вместо xFy, если F является функцией. Множества D_F и R_F , введенные в предыдущем пункте для функции F носят соответственно названия: D_F - область определенияи R_F - область значенийфункции F. Очень часто область определения и область значений заранее не задаются, а возникают, исходя из задания функции.

Примеры.

1) {(1,2), (2,2), (Рузвельт, Черчилль)};

2) {(1,2), (1,3), (2,2)};

3) {(x, x² +x+1)|xÎR};

4) {(x² ,x)|xÎR}.

Из приведенных примеров 1 и 3 определяют функцию, а 2 и 4 не являются функцией, т.к. не выполнено определение функции.

Для функции применяются также другие названия: преобразование, отображение, соответствие. Если y = F(x), то x называют аргументомфункции, а y образом.

Две функции F и G считаются равными, если выполнены равенства соответствующих множеств. Последнее эквивалентно следующим двум равенствам:

D_F =D_G и F(x)=G(x) для "xÎD_F.

Следующие определения переносятся с отношений:

1) В случае, когда D_F = Х функцию называют всюду определенной.

2) Функция F из Х в У называется сюръекцией(или отображением на), если R_F =У.

3) Функция F из Х в У называется инъекцией(или однозначным отображением), если из х₁ ¹ х₂ следует, что F(х₁) ¹ F(х₂).

Всюду определенная функция F из Х в У называется биекцией, если она одновременно является сюръекцией и инъекцией.

Примеры: 1) функция у=е^x - биекция из R в R₊ ;

2) у=х² - сюръекция из [-1, 1] на [0, 1], не являющаяся инъекцией.

Определение. Пусть F - функция из X в Y, а G - из Y в Z. Суперпозицией функцийF и G называется такая функция H из X в Z, что z = H(x) (т.е. (x, z)Î H Í X´Z) тогда и только тогда, когда y=F(x) и z=G(y). Суперпозиция обозначается GoF. В определении Н – функция, почему?

Определение. Для функции F из Х в У функция G из У в Х называется правой обратной(соответственно, левой обратной), если справедливо равенство FoG=I_У (соответственно, GoF=I_Х), где через I_Х (I_У) обозначено тождественное отображение на Х (соответственно на У), т.е. I_Х(x) = x (I_У(y) = y).

Функция у=х², из рассмотренного выше примера не имеет левой обратной, но имеет правую обратную (ею является функция х= ). Однако если сузить область определения функции у=х² до отрезка [0,1] (или [-1,0]), оставив туже самую область значений, то эта функция будет иметь уже и левую обратную: х= (соответственно, х= - ).

Лемма 1. Если функция F имеет левую обратную, то F является инъекцией.

Доказательство. Действительно, если бы F не являлась инъекцией, то существовали бы х₁ ¹ х₂ такие, что y=F(x₁)=F(x₂). Пусть G - левая обратная к F, то x₁ = GoF(x₁ ) = G(y) = GoF(x₂ ) = x₂, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если функция F имеет правую обратную, то F является сюръекцией.

Доказательство. Утверждение легко вытекает из определения правой обратной функции G: для любого уÎУ Þ FoG(у)=у.

Лемма 3. Если у функции F из Х в У существуют левая и правая обратная функции, то они совпадают.

Доказательство. Пусть G и H - обозначают соответственно левую и правую обратную функции к F. Тогда D_G = R_F = D_H = У. Остается проверить равенство G(y) = H(y) для любого yÎУ. Но G(y) = G(I_У(y)) = G(F(H(y))) = I_Х(H(y)) = H(y).

Определение. Функция из У в Х, которая является правой и левой обратной к функции F, называется обратной функциейк F и обозначается через F ^-1.

Теорема. Пусть F является функцией из Х в У. Для существования обратной функции F^-1 из У в Х необходимо и достаточно, чтобы F была биекцией.

Необходимость легко вытекает из лемм 1 и 2.

Достаточность. Пусть yÎУ. Так как F является сюръекцией, то существует хÎХ такое, что F(x)=y. При этом такое х одно, так как F также и инъекция. Определим функцию G(x)=y. Легко проверить, что таким образом определенная функция является обратной к F.

Следствие. Если F является биекцией, то и F^-1 также является биекцией.