Бинарные отношения (определение, бинарное отношение на множестве, отношение к декартовому произведению)

Множество (определение, конечность, мощность, пример)

Множество – это совокупность элементов объединенных некоторым признаком или свойствами.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов.

например, множество страниц в книге…

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым.

Например: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность множества Aобозначается m (A).

Способы задания множеств

1. Перечисление элементов. Элементы заключаются в фигурные скобки.

M = {a1, a2, . . . , ak}

2. Порождающей процедурой. Указывается способ получения новых элементов из уже

имеющихся.

3. С помощью характеристического предиката. Предикат описывает свойство всех эле-

ментов, входящих в множество.M = {x : P(x)} или M = {x|P(x)}

Пример

1. N = {0, 1, 2, 3, . . . }

2. 1 ∈ M; если a ∈ M, то 2 · a ∈ M

3. M = {x : x ∈ N ∧ x < 10}

Операции над множествами (описание, примеры)

Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств

называется множество,состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествА,В.

Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств

называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Разностью между множеством В и множеством А

называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А .

Дополнением множества А в В

называется разность А\В, если В является подмножеством множества А.

1. Объединение A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

2. Пересечение A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

3. Разность A \ B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}

4. Дополнение A = {x|x ∈ U ∧ x 6∈ A}

5. Симметрическая разность

A 4 B = {x|(x ∈ A ∧ x 6∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x 6∈ A)}

Прямое (декартовое) произведение (определение, пример)

Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только втеории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры существующие на перемножаемых множествах.

Бинарные отношения (определение, бинарное отношение на множестве, отношение к декартовому произведению)

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется непустое множество упорядоченных пар элементов этого множества.

В математике большую роль играют бинарные отношения, т.е. отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств .

§ называют бинарным отношением на множестве , если . При этом вместо записи часто используют запись

§ Если то говорят, что определено на паре множеств и .

§ Множество всех первых элементов пар из называется областью определения отношения и обозначается как .

§ Множество всех вторых элементов пар из называется областью значения отношения и обозначается как .

§ Инверсия(Обратное отношение) — это множество и обозначается, как .

§ Композиция (суперпозиция) бинарных отношений и — это множество и обозначается, как .