Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

А^-1×А=А×А^-1=Е

Квадратная матрица А называется невырожденной, если detA¹0.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если detA=0.

Теорема. Пусть А= – невырожденная матрица. Тогда существует, и при том единственная обратная матрица А^-1:

А-1= ×

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij матрицы А

Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений:

1° Найти определитель матрицы A

Замечание: Если detA=0, то матрица А – вырожденная и не имеет обратной.

2° Найти алгебраические дополнения элементов матрицы А

3° Вычислить обратную матрицу по формуле.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А= и сделать проверку.

Решение: detA=5¹0 Þ существует А^-1

Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А₁₁=(-1)¹⁺¹ =1, А₁₂=(-1)¹⁺² =-3, А₁₃=(-1)¹⁺³ =1,

А₂₁=(-1)²⁺¹ =3, А₂₂=(-1)²⁺² =1, А₂₃=(-1)²⁺³ =-2,

А₃₁=(-1)³⁺¹ =-2, А₃₂=(-1)³⁺² =1, А₃₃=(-1)³⁺³ =3

Вычисляем обратную матрицу по формуле:

А^-1= =

Проверка:

× =

Вычисление обратной матрицы элементарными преобразованиями:

Пусть А= - невырожденная матрица.

Построим прямоугольную матрицу (А|Е) и элементарными преобразованиями Гаусса преобразуем ее так, чтобы слева от вертикальной черты оказалась единичная матрица. Тогда справа от черты будет записана обратная матрица:

(А|Е) (Е|А^-1)

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А=

Решение:

(Действия проводятся над строками; номера строк указаны римскими цифрами.)

® ® ®

® ®

Таким образом, А^-1=

Свойства обратной матрицы:

1° detA^-1=

2° (А^-1)^-1=А

3° (lА)^-1= А^-1, lÎR, l¹0

4° (А^m)^-1=(A^-1)^m

5° (А^T)^-1=(A^-1)^T

6° (A×B)^-1=B^-1×A^-1