Стационарный случайный процесс

Ранее была произведена классификация случайных процессов по времени и пространству значений случайного процесса. С точки зрения вероятностных характеристик случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. Стационарные процессы в свою очередь подразделяются на процессы стационарные в узком смысле (строго стационарные) и широком смысле.

Случайный процесс x(t) называется стационарным в узком смысле, если функция распределения и плотность распределения инвариантны относительно сдвига во времени, т.е. они не меняются при любом сдвиге всей группы точек вдоль оси времени на одну и ту же величину :

w(x)

x(t)

Рис. 1.7

Мм

Случайный процесс, не обладающий этим свойством, называется нестационарным в узком смысле. Стационарный случайный процесс - это установившийся процесс и реализуется при неизменных внешних условиях.

Из стационарности в узком смысле следует:

-независимость одномерной функции распределения вероятности и плотности распределения вероятности от времени, (Рис. 1.7),

- двумерная функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности зависят от разности моментов времени

(1.9)

- многомерная плотность распределения вероятности запишется как

(1.10)

В свою очередь соотношения (1.8), (1.9) позволяют записать

(1.11)

Как видно из приведенных формул, математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная и ковариационная функции зависят от разности моментов времени.

Рис. 1.8

(m_x)²

_x(t)

Стационарность в широком смысле. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если математическое ожидание и дисперсия процесса не зависят от времени, а ковариационная и корреляционная функции зависят от разности моментов времени.

Из определений стационарности в узком и широком смыслах можно заключить, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но из стационарности в широком смысле не всегда следует стационарность в узком смысле.

На практике многие задачи решаются только лишь с использованием моментных функций не выше второго порядка, т.е. иногда достаточно бывает знать функции распределения вероятности не выше второго порядка. Поэтому раздел теории случайных процессов, использующий распределения вероятностей не выше второго порядка, называется корреляционной теорией.

Свойства ковариационной и корреляционной функций.

1. Ковариационная и корреляционная функции есть четные функции, т.е.

Это следует из определения ковариационной и корреляционной функций.

2. Для стационарного процесса имеем (Рис. 1.8)

3. .

Для доказательства этого свойства рассмотрим ковариационную функцию при

B_x(t)

2 Dt

Рис. 1.9

4. Для любого значения

имеем

5. Нормированная ковариационной функции относительно :

называется коэффициентом корреляции случайного процесса. Из пятого свойства следует, что

6. На практике необходимо знать интервал времени , в пределах которого нельзя пренебречь зависимостями между значениями случайного процесса. Этот интервал называется интервалом корреляции. Реализации, отстоящие по времени больше, чем интервал корреляции, считаются некоррелированными. Интервал корреляции может быть определен несколькими способами.

1) Площадь под кривой нормированной корреляционной функции равна площади прямоугольника с основанием, равным , и высотой, равной единице (Рис. 1.9)

(1.12)

R^*(t)

t₀

-t₀

Рис.1.10

R(t)

2)Введем

- огибающую нормированной корреляционной функции и

- допустимый коэффициент корреляции,

, выбранный из практических соображений. Будем считать, (Рис. 1.10), значения процесса

коррелированными на интервале времени

, где

выбрано из решения равенства

Существуют и другие методы определения интервала корреляции.

Рассмотрим частный случай, когда время корреляции принимает дискретные значения

. Установим связь между значениями коэффициента корреляции случайного процесса и коэффициентом корреляции системы случайных величин , распределенных по одному и тому же закону с одинаковыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями .

Коэффициент корреляции является элементом корреляционной матрицы

(1.13)

и вычисляется как

. (1.14)

Рассмотрим случайный процесс в дискретные моменты времени и пусть . Так как ковариационная функция процесса рассматривается в дискретные моменты времени и на конечном интервале времени, равном , коэффициент корреляции случайного процесса удобно представить через корреляционную матрицу

(1.15)

где .

Сравнивая элементы и корреляционных матриц и , видно, что , т.е. значения коэффициента корреляции случайного процесса в дискретные моменты времени совпадают со значениями коэффициента корреляции системы случайных величин , если .

1.4. Характеристическая функция случайного процесса

Свойства случайного процесса можно описать не только плотностью распределения вероятности и функцией распределения вероятности, но и с помощью характеристической функции.

Рассмотрим случайную величину , имеющую плотность распределения вероятности для непрерывной случайной величины и распределение вероятности для дискретной случайной величины. Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание случайной величины :

(1.16)

где - произвольный вещественный параметр, .

Обратное преобразование имеет вид

Приведем некоторые свойства характеристической функции случайной величины.

1. . Действительно, .

2. , следует из определения характеристической функции.

3. .

4. следует из пункта 3, где - функция , комплексно сопряжённая функции .

5. . Доказательство этого свойства приведено в [5]

6. Если плотность распределения вероятности симметричная функция, то характеристической функции - действительная четная функция

7. Если характеристическая функция - действительная четная функция, то плотность распределения вероятности - симметричная функция.

Одним из удобств применения характеристической функции является легкость нахождения моментов распределения вероятности. Продифференцируем :

(1.17)

Из этого выражения получим моменты k-го порядка:

Если существуют моменты любого порядка, то разложение характеристической функции в ряд Тейлора в точке имеет вид

(1.18)

На практике часто приходится сталкиваться с поиском функции и плотности распределения вероятности суммы независимых случайных величин с известными характеристическими функциями . Согласно определению (1.16) характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций, т.е.

. (1.19)

Формула (1.15) позволяет вычислить плотность распределения вероятности суммы независимых случайных величин.

Другой функцией, которая характеризует моменты случайной величины, является кумулянтная функция. Кумулянтной функцией случайной величины называется логарифм характеристической функции

. (1.20)

Кумулянтная функция может быть разложена ряд по степеням в точке . Для этого рассмотрим разложение функции в ряд Тейлора в точке :

. (1.21)

Сделаем подстановку и получим, используя (1.18) и

(1.21),

Возведя в соответствующие степени выражения в круглых скобках и собрав все члены с одинаковыми степенями относительно членов , получим степенной ряд вида

, (1.22)

где коэффициенты разложения , называемые кумулянтами (семиинвариантами), являются полиномами от моментов

В частности

, (1.23)

Пример 1. Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , :

Характеристическая функция случайной величины имеет вид

а кумулянтная функция –

Пример 2. Рассмотрим сумму трех независимых нормально распределенных случайных величин , математические ожидания и дисперсии которых соответственно равны , , , , , . Определим плотность распределения вероятности .