Моментные функции случайного процесса

Плотность распределения вероятности и функция распределения вероятности полностью описывают случайный процесс . Функции распределения вероятности учитывают особенности случайного процесса. И чем больше точек отсчета , тем полнее описан процесс. Однако на практике часто встречаются задачи, в которых достаточно знать некоторые функции, характеризующие случайный процесс, такие как изменение среднего значения процесса во времени, энергию процесса, степень влияния одних значений процесса на другие и т. д. Эти функции называются моментными функциями случайного процесса.

Различают начальные, центральные и смешанные моментные функции.

Начальной моментной функцией -го порядка называется неслучайная функция времени, которая имеет следующий вид

где - область определения случайного процесса в момент времени , .

В частности, если =1, начальная моментная функция первого порядка называется математическим ожиданием случайного процесса,

Рис. 1.6

x(t)

m_x(t)

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайного процесса по ансамблю (по множеству всех реализаций) в произвольный момент времени (Рис. 1.6). Размерность математического ожидания [x] – размерность измеряемой величины x.

Центрированной моментной функцией -го порядка относительно величины называется неслучайная функция вида

Центральная моментная функция второго порядка – дисперсия случайного процесса

Дисперсия характеризует степень разброса значений случайного процесса около математического ожидания. Размерность дисперсии - – квадрат измеряемой величины x. Если - ток или напряжение, то дисперсия пропорциональна мгновенной мощности, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом.

Смешанной моментной функцией (j, k)-го порядка называется неслучайная функция вида

где - совместное распределение плотности вероятности случайного процесса в моменты времени ,

- совместная вероятность реализации значений случайного процесса в моменты времени

В частности для имеем смешанную моментную функцию первого порядка, называемую корреляционной функцией -

Если значения случайного процесса центрированы относительно математического ожидания, для имеем ковариационную функцию

Корреляционная и ковариационная функции характеризуют степень статистической связи между значениями случайного процесса в моменты времени и и имеют размерность, равную размерности квадрата измеряемой величины – [ ].