Количественные характеристики вариационного ряда

1. Средняя арифметическая вычисляется по формуле

,

где – варианты ряда, – соответствующие им частоты или середины отрезков интервалов интервального вариационного ряда, – число неповторяющихся вариантов или число интервалов, .

Для несгруппированного ряда все частоты ( ), а

есть «невзвешенная средняя арифметическая.

2. Средняя геометрическая

.

Эти средние величины называют аналитическими. Кроме них в статистическом анализе применяют структурные или порядковые средние. Из них наиболее широко используются медиана и мода

3. Медиана – это варианта (значение величины, признака), приходящаяся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединной варианте, а для ряда с четным числом членов –

полусумме двух серединных вариант.

Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми.

4. Мода вариационного ряда – это вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Особенность моды как меры центральной тенденции состоит в том, что она не изменяется пи изменении крайних членов ряда, т. е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.

Средние величины, рассмотренные выше, не отражают изменчивости (вариации) значений признака.

К показателям вариацииотносятся следующие характеристики.

5. Вариационный размах – разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:

.

6. Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической:

7. Дисперсия вариационного ряда – это средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

.

Дисперсию часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она находится по опытным или статистическим данным.

8. Среднее квадратическое отклонение – это арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

.