Свойства функции распределения

1. , .

2.Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

.

3. – неубывающая функция, т.е. если > , то > .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале равна :

< < .

Наряду с функцией распределения для задания случайной величины используют также функцию, которая называется плотностью распределения.

Определение.Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется такая неотрицательная функция , определенная на всей числовой оси, что для всех :

.

Из этого определения следует, что, зная плотность распределения , можно найти функцию распределения . И наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

.

Приведем примеры наиболее известных и применяемых распределений случайных величин.

1. Равномерно распределенная случайная величина

Определение.Случайная величинаназывается равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей имеет вид: Рис.

График плотности распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины приведен на рисунке ?

Математическое ожидание такой случайной величины вычисляется по формуле , а дисперсия – по формуле .

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений.

Задача 3.Поезда метрополитена идут регулярнос интервалом 2 мин. Пассажир приходит на станцию в случайный момент времени. Найдите вероятность того, что ждать поезда пассажиру придется не больше полминуты. Найдите также математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина –время ожидания поезда на временном интервале [0,2] (в минутах) имеет равномерный закон распределения (см. рис. ). Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна от равной 1 площади прямоугольника, т.е. .

, , .

2. Показательное распределение случайной величины

Определение.Случайная величинаназывается распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

График плотности распределения этой случайной величины приведен на рисунке 2.

Рис.3

Для случайной величины, распределенной по этому закону, основные характеристики вычисляются по формулам:

, , .

3. Случайная величина, распределенная по нормальному закону

Определение.Случайная величинаназывается распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

,

где и – параметры нормального распределения: параметр является математическим ожиданием случайной величины, а параметр – ее средним квадратическим отклонением. График этой функции представлен на рисунке 4.

Рис.4

Нормальное распределение называют также Гауссовским. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения вероятностей. О значении этого закона говорит следующая теорема, которая носит название центральной предельной теоремы:

Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

На всех рисунках площадь заштрихованной фигуры равна вероятности попадания значений рассматриваемой случайной величины на указанный отрезок.