Преобразование базиса

Координаты вектора зависят от выбора базиса. Пусть вектор в «старом» базисе имеет координаты , а в «новом» базисе – координаты (см. рис.6.1 для случая ).

Рис.6.1. Преобразование базиса

Каждый из векторов «нового» базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов «старого» базиса:

6.4)

Полученная система означает, что переход от «старого» базиса к «новому» задается матрицей перехода . Эта матрица не вырождена, так как в противном случае ее строки (а, следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от «нового» базиса к «старому» базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами рассматриваемого вектора в «старом» и «новом» базисах. Из формулы (6.1) следует

. (6.5)

Подставляя выражения из системы (6.4) в левую часть равенства (6.5), после преобразований получим:

то есть, в матричной форме

. (6.6)

Полученные формулы (6.6) представляют собой формулы преобразований координат одного и того же вектора при переходе от «старого» базиса к «новому» базису и наоборот.

Пример 6.1. В базисе заданы векторы , , . Показать, что векторы образуют базис и выразить в этом базисе вектор , имеющий в базисе координаты .

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются :

.

Нетрудно показать, что . Следовательно, , и система векторов линейно независима. Связь между базисами выражается следующим образом:

Матрица перехода от базиса к базису есть . Нетрудно показать, что . Теперь из (6.6) сразу следует

.

Таким образом, новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2; –0,5, и вектор может быть представлен в виде .