Система векторов , называется линейно зависимой, а вектора, составляющие эту систему – линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, для которых
.
В противном случае система S называется линейно независимой, а сами вектора этой системы – линейно независимыми.
Выражение называется линейной комбинацией векторов . Если числа линейной комбинации удовлетворяют условиям ; , то тогда она называется выпуклой линейной комбинацией.
Пусть – произвольное множество векторов. Система векторов называется базисом в , если выполняются условия:
1) ;
2) система G линейно независима;
3) любой вектор представим в виде линейной комбинации векторов системы G, то есть,
. (5.1)
Формула (5.1) называется разложением векторапо базису G. Величины при этом называются i-ми координатами векторав базисе G.
Справедливы следующие утверждения:
1. Всякая система векторов имеет по меньшей мере один базис; при этом все базисы данной системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы и обозначаемого как .
2. Ранг всего пространства равен n и называется размерностью этого пространства.
Каноническим базисом в называется система единичных векторов , где
Компоненты любого вектора одновременно являются его координатами в каноническом базисе.
При исследовании линейной независимости векторов может быть использовано понятие ранга матрицы.
Пример 5.1. Для системы векторов S={ , , } выяснить, является ли она линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.
Решение. Запишем матрицу А, столбцами которой являются вектора
.
Нетрудно показать, что . Следовательно, заданная система векторов линейно зависима и ее ранг по теореме о ранге матрицы (о базисном миноре) также равен двум. В качестве базисного минора может быть взят любой отличный от нуля минор второго порядка, например, . Отсюда следует, что вектора образуют базис заданной системы векторов.