Операции над матрицами

Операции сравнения: матрицы А и В называются равными (пишут ), если они имеют одинаковый порядок и все их элементы с одинаковыми индексами равны:

.

Говорят, что матрица A больше матрицы B (пишут ), если они имеют одинаковый порядок, причем

.

Операция сложения: суммой двух матриц A и B одного и того же порядка называется матрица C того же порядка, элементы которой определяются формулами

.

Пример 1.2. Пусть , . Тогда .

Операция умножения матрицы на число: любую матрицу A можно умножить на произвольное число k как слева, получив матрицу , так и справа, получив матрицу . При этом матрицы B и C равны между собой, имеют тот же порядок, что и матрица A. Элементы матриц и определяются формулами .

Пример 1.3. Пусть , . Тогда .

Свойства операций сложения и умножения матриц на число

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. .

Операция вычитания матрицы B из матрицы A определяется следующим образом: . Матрица называется матрицей, противоположной матрице A.

Операция умножения матрицы на матрицу: произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C, элементы которой определяются формулами

,

где число элементов в строках матрицы A и в столбцах матрицы B. Произведение имеет столько же строк, сколько левый сомножитель A и столько же столбцов, сколько правый сомножитель B.

Пример 1.4. 1) Пусть , . Тогда .

2) Пусть , . Тогда

;

.

В общем случае . Матрицы A и B, для которых , называются коммутативными (перестановочными). Единичная и нулевая матрицы коммутативны с любой матрицей, на которую их можно умножить.

Свойства операции умножения матрицы на матрицу

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. .

Операция возведения матрицы в степень. Пусть k есть целое неотрицательное число. Тогда k-й степенью матрицы A называется результат умножения матрицы A самой на себя k раз. По определению полагаем:

Число k при этом называется показателем степени.

Свойства операции возведения матрицы в степень

1. ,

2. .

Пример 1.5. Пусть . Тогда ; ; .

Операция транспонирования матрицы. Пусть произвольная матрица порядка . Матрица , состоящая из элементов, удовлетворяющих условию , называется транспонированной матрицей A и обозначается . Строки матрицы состоят из элементов столбцов матрицы A, а столбцы – из элементов строк матрицы A:

.

Свойства операции транспонирования матрицы

1. ,

2. .

Пример 1.6. Пусть . Тогда .

Операции элементарных преобразований над матрицами. Специальный класс операций над матрицами представляют операции, называемыми элементарными преобразованиями. К элементарным преобразованиям относятся следующие операции над матрицами:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля. Все другие элементы матрицы при этом остаются неизменными.

2) прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой ее строки (столбца), умноженных на одно и то же произвольное число. Все другие элементы матрицы при этом остаются неизменными.

3) перестановка двух каких-либо строк (столбцов) матрицы местами.

Теорема о представлении элементарных преобразований матриц операциями умножения. Справедливы следующие утверждения.

1. Умножение i-й строки матрицы на число эквивалентно операции умножения на эту матрицу слева квадратной матрицы вида

(1.1)

(число находится в i-й строке и i-м столбце; все остальные элементы – как в единичной матрице).

2. Прибавление к i-й строке матрицы ее j-й строки, умноженной на число , эквивалентно операции умножения на эту матрицу слева квадратной матрицы L вида

(1.2)

(число находится в i-й строке и j-м столбце; все остальные элементы – как в единичной матрице).

3. Перестановка строк матрицы местами может быть осуществлена конечной последовательностью умножений на эту матрицу слева специальных матриц вида (1.1) и (1.2).

Пример 1.7.Пусть . Тогда справедливы следующие представления:

а) умножение третьей строки матрицы A на 4:

.

б) прибавление ко второй строке матрицы А ее четвертой строки, умноженной на 3:

.

в) смена местами первой и третьей строк матрицы А:

1) прибавление к третьей строке матрицы А ее первой строки, умноженной на –1, то есть :

;

2) прибавление к первой строке полученной матрицы В ее третьей строки, умноженной на 1: :

;

3) прибавление к третьей строке полученной матрицы D ее первой строки, умноженной на –1, то есть :

;

4) умножение третьей строки полученной матрицы F на –1, то есть :

.

Таким образом, к смене мест первой и четвертой строк матрицы А ведет следующее преобразование:,

где

; ; ; .