Решение:

Примеры решения задач по векторной алгебре

Пример 1.Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

Решение:

½ ½=

Пример 2.Найти скалярное произведение векторов , .

Решение: Находим Так как и , то .

Пример 3.Определить, при каком значении m векторы 3 + m и – 2 будут взаимно перпендикулярны, если ½ ½= 7 ; ½ ½= 4; ( ) = .

Решение:

Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Возьмем скалярное произведение векторов 3 + m и – 2 и, приравняв его нулю, найдем m:

(3 + m )( – 2 ) = 0;

3 ½ ½²– 6 ½ ½½ ½cos + m½ ½½ ½cos – 2 m½ ½² = 0;

3 × 49 × 2 – 6 × 7 × × 4 + m × 7 × 4 – 2 × m × 16 = 0;

294 – 168 + 28 m – 32 m = 0, 4 m =126, m = = 31,5.

Пример 4.Определить угол между векторами и .

Решение:

Так как ½ ½½ ½cosj , то cosj = . Имеем

2 × 4 + 1 × 6 – 3 × 7 = –7;

½ ½= ; ½ ½= .

Следовательно,

cos j = , j = arccos .

Пример 5.Найти векторное произведение векторов и .

Решение:

Пример 6.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и

Решение:

Находим векторное произведение на :

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то S =½ ½= = 49 (кв. ед.).

Пример 7.Найти площадь треугольника ABC с вершинами A (1, 2, 0), B (3, 0, –3) и C (5, 2, 6).

Решение:

Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и : S_D = ½ ½. Найдем векторы и : = ; = .

Их векторное произведение

,

поэтому ½ ½ = 4 ½ ½= 4 = 28, и следовательно, S_D = 14 (кв. ед.)

Пример 8.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах = 6 – 3 и = 3 + 2 , если ½ ½= 3; ½ ½= 5; ( )= .

Решение:

Имеем 18 ( ) –9 ( ) +12 ( ) – 6 ( ) = 21( ), где

.

Итак, S =½ ½= 21 ×3 × 5 × = 157,5 (кв. ед.)

Пример 9.Найти смешанноепроизведение векторов , и .

Решение:

Пример 10.Показать, что векторы , и компланарны.

Решение:

Так как , то заданные векторы компланарны.

Пример 11.Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A (2, 2, 2), B (4, 3, 3), C (4, 5, 4) и D (5, 5, 6).

Решение:

Найдем векторы и , совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине A: , , .

Находим смешанное произведение этих векторов:

Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах и , то V_пир = (куб. ед.).