Элементарные функции

Функция называется явной, если она задана формулой в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например функция .

Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция , задана уравнением . (Заметим, что последнее уравнение задает две функции: при и при .)

Графиком уравнения называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению

Функция может быть задана параметрически на множестве посредством переменной , называемой параметром , где . В этом случае график функции есть множество точек . Например, параметрическое уравнение верхней полуокружности , или имеет вид где .(заметим, что уравнение окружности определяет две функции: , , задаваемых параметрическими уравнениями при .)

Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений , называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают , а функцию - , то функция, обратная к функции , примет вид . Также обратную функцию обозначают в виде . Например, для функции обратной будет функция .

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией от переменной , определенной на множестве с областью значений . Тогда заданная на множестве функция называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции). Например, , где .

Понятие элементарной функции. Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами: а) с помощью алгебраических действий; б) с помощью операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функций конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функции: - целая часть ; (читается « равно сигнум » - знак числа ( ); функция Дирихле.

Элементарные функции делят на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводятся конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

- целая рациональная функция (многочлен или полином);

- дробно-рациональная (отношение двух многочленов);

- иррациональная функция (если в числе операций над аргументом имеется операция извлечения корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические функции.

[1] Дирихле Петер Густав (1805-1859) – немецкий математик