По пункту 1 задания.

Для определения спектра весов помехоустойчивого кода можно найти все разрешенные кодовые слова данного кода, например, путём деления информационных символов на производящий многочлен данного кода g(x). Производящий многочлен циклического кода (7,3) можно найти в [1, приложение А]. Тогда вес каждого кодового слова w определяется числом единиц в этом слове, а каждая спектральная компонента S_w определяется числом кодовых слов одинакового веса. Спектр весов кода – это зависимость S_w=f(w).

Обнаруживающая и исправляющая способность помехоустойчивых кодов тесно связана с расстояниями между разрешенными кодовыми словами. Расстояние между любой парой кодовых слов и выражает различие между ними

,(1)

где , - координаты кодовых слов , в -мерном пространстве L_n.

Если код является двоичным, под расстоянием между парой кодовых слов понимается количество символов, в которых они отличаются между собой. Оно определяется сложением двух этих слов по модулю 2 и равно числу единиц в этой сумме. Например:

Знак означает сумму по модулю 2 (сложение по модулю два выполняется по правилу: , , , ).

Напомним, что геометрической моделью -символьного двоичного кода является -мерный куб с ребром, равным единице, каждая вершина которого представляет одно из возможных кодовых слов. Расстояние между словами d_ij равно числу ребер куба, отделяющих одну вершину от другой. Наименьшее расстояние между любой парой разрешенных слов данного кода называется кодовым расстоянием

d = min d_ij. (2)

Число ошибочных символов в принятом кодовом слове называется кратностью ошибки t, при длине кодового слова из n символов она изменяется в пределах от 0 до n.

Так как кратность ошибки в геометрическом представлении является расстоянием между переданным и принятым словоми, то для обнаружения ошибок кратности t_об требуется кодовое расстояние, равное

. (3)

Для исправления ошибок кратности t_ис требуется кодовое расстояние

. (4)

Это означает, что для исправления ошибок искаженное кодовое слово должно располагаться ближе всего к соответствующему правильному слову.

Вероятность ошибки кратности t в кодовом слове для (t= 0,1,2 … n) называется распределением кратностей ошибок P_n(t), которое для двоичного канала с независимыми ошибками в кодовых символах p определяются биномиальным законом

P_n(t) = C_n^t p^t(1- p)^n-t , (5)

где - биномиальныe коэффициенты.

Если распределение кратностей ошибок определяется на выходе декодера, то n=k, где - число информационных символов в кодовом слове.

Свойства кода по обнаружению и исправлению ошибок количественно характеризуются коэффициентами обнаружения K_об и исправления ошибок K_ис, которые показывают, во сколько раз уменьшается вероятность ошибки после декодирования по сравнению с её величиной на входе приемного устройства (декодера), благодаря обнаружению ошибок или их исправлению соответственно. Ошибки в кодовых словах могут иметь произвольную конфигурацию, что определяется случайным характером помех в канале связи.

Если это вероятность ошибки кратности t ³ 1в n символьном кодовом слове на входе декодера, а P_об - вероятность обнаружения ошибок в декодере, то коэффициент обнаружения определяется следующим выражением

. (6)

В двоичном канале с независимыми ошибками вероятность хотя бы одной ошибки в кодовом слове равна

. (7)

Коэффициент исправления ошибок будет определяться выражением

, (8)

где P_ис - вероятность исправления ошибок в декодере.

Вероятность P_ис численно равна вероятности ошибок в кодовом слове, кратность которых не превышает величины кратности гарантированно исправляемых ошибок t_ис, то есть P_ис = P_вх(£ t_ис, n).

Коэффициент исправления кода всегда меньше коэффициента обнаружения, что является общим условием для любых помехоустойчивых кодов.

Коэффициент исправления ошибок на символ равен отношению вероятности ошибки на входе декодера , которая равна вероятности ошибки в канале , к вероятности ошибки на выходе декодера .

, (9)

Если <<1, то .