Определение.Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В. Пересечение множеств А и В обозначают А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = { х | х ∈ А и х ∈ В}. Например, если А = { a , c , k , m , n } и В = { a , b , c , d , e }, то А ∩ В = { a , c }. Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 3). Для пересечения множеств выполняются следующие свойства. 1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∩ В = В ∩ А. 2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С). 3) А ∩ ∅ = ∅ (пустое множество является поглощающим элементом). 4) А ∩ U = А (универсальное множество является нейтральным элементом). 5) Если В ⊂А, то А∩В = В
Определение.Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = {х | х ∈А или х∈В}. Например, если А = {a , c , k , m , n} и В = {a , b , c , d , e}, то А ∪ В = {a, c , k , m , n , b , d , e}. Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область (рис. 4).
Для объединения множеств выполняются следующие свойства. 1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А. 2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В)∪ С = А ∪ (В ∪ С). 3) А ∪ ∅= А (пустое множество является нейтральным элементом). 4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом). 5) Если В ⊂А, то А∪В = В Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами: (А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).
П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В. Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = { м, а, т, е, и, к }, В = { с, т, е, р, о, м, и, я }. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = { м, т, е, и }. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = { м, а, т, е, и, к, с, р, о, я }.
П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?
Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.
Определение.Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Разность множеств А и В обозначают А \ В. Таким образом, по определению разности А \ В = { х | х ∈ А и х ∉В}. Например, если А = { a , c , k , m , n } и В = { a , b , c , d , e }, то А \ В = { k , m , n }. Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то разность данных множеств является заштрихованная область (рис. 5). Определение.Пусть В является подмножеством множества А. В этом случае разность множеств А и В называют дополнением подмножества В до множества А и обозначают В'А. Дополнение можно изобразить как показано на рис. 5. Если В – подмножество универсального множества U, то дополнение подмножества В до U обозначают В'. Например, если В – множество однозначных натуральных чисел, то В'– множество неоднозначных натуральных чисел, если С – множество равнобедренных треугольников, то С' – множество треугольников, у которых все стороны имеют разную длину.
Разность множеств и дополнение к подмножеству обладают рядом свойств. 1) (А \ В) \ С = (А \ С) \ В. 2) (А∪В) \ С = (А \ С) ∪ (В \ С). 3) (А \ В) ∩ С = (А ∩С) \ (В ∩ С). 4) (А ∪ В)' = А' ∩ В'. 5) (А ∩ В)' = А' ∪В'.
Четвертое свойство формулируется так: дополнение к объединению двух множеств равно пересечению дополнений к этим множествам. Пятое свойство формулируется аналогично.
П р и м е р 1. А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 5. Задать описанием характеристического свойства множество А \ В и назвать три числа, принадлежащих этому множеству. Р е ш е н и е. По определению разность данных множеств состоит из натуральных чисел, кратных 3 и не кратных 5. Поэтому разности множеств А и В принадлежат числа 9, 24, 33.
П р и м е р 2. Найти дополнение к множеству А в множестве натуральных чисел, если: а) А = { х | х = 2 k + 1, k∈N }; б) А = { х | х = 3 k , k ∈ ^ N }. Р е ш е н и е.
а) Числа вида х = 2 k + 1, k ∈ N представляют собой нечетные натуральные числа, следовательно, дополнение А' – это четные натуральные числа: А' = { х | х = 2 k , k ∈N }. б) В виде х = 3 k , k∈N записаны натуральные числа, кратные 3, или числа, дающие при делении на 3 остаток 0. В дополнение к этому множеству войдут числа, не кратные 3, или дающие при делении на 3 остаток 1 или 2. Запишем А' = { х | х = 3 k + 1 или х = 3 k + 2, k ∈ N о }.
Задания для самостоятельной работы:
1. Даны множества А = { a , b , c , d , e , f , k } и В = { a , c , e , k , m , p }. Найдите А ∪ В, А ∩ В, А \ В , В \ А .
2. Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø б)А U В=А 7. Пусть Х= { x N/ 1 x 15}. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества: А – подмножество всех четных чисел; В – подмножество всех нечетных чисел; С – подмножество всех чисел, кратных 3; D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами; E – подмножество всех простых чисел. В каких отношениях они находятся?
N/ 1 
x