Понятие множества является базовым в математике, на его основе формируются другие понятия. В силу своей общности – это неопределяемое понятие.
Под множеством принято понимать любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами данного множества.
В приведенном выше описании понятия множества, которое принадлежит основателю теории множеств немецкому математику Г. Кантору, существенным является то, что собрание объектов (множество) само рассматривается как один предмет, как нечто целое. Относительно предметов, которые могут входить во множество, допускается значительная свобода. Важно, что наша интуиция должна, во-первых, отделять их один от другого даже тогда, когда их нельзя точно указать (например, множество простых чисел), во-вторых, давать ответ на вопрос о принадлежности объекта данному множеству. Второе тесно связано со способами задания множеств.
Тот факт, что объект а является элементом множества А, другими словами, а принадлежит множеству (содержится в множестве) А, символически обозначается: аÎ А. В противном случае пишут аÏА.
Г. Кантор сформулировал несколько интуитивных принципов, которые естественно считать выполняющимися для произвольных множеств. В частности интуитивный принцип объемности, который оговаривает условия равенства (тождественности) объектов нашей теории, а, следовательно, и их различия.
Интуитивный принцип объемности. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
При этом записывают А=В, если А и В равны, и А¹В – в противном случае.
Пример 1. Пусть множество А состоит из чисел 1 и 6, а В – множество действительных корней уравнения х2–7х+6=0. Числа 1, 6 и только они являются корнями данного уравнения, следовательно, в силу принципа объемности заключаем, что множества равны, т. е. А=В.
Множество А, элементами которого являются объекты а1 ,а2, ..., аn и только они, обозначают А={а1, а2, ..., аn}.
2. Отношение включения
Если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В, то А называют подмножеством множества В, и пишут АÍВ. При этом множество В называют надмножествоммножества А. Если АÍВ, но А¹ В, то А называют собственным подмножеством В, и обозначают АÌВ. Ясно, что для любых множеств А, В, С справедливо:
АÍА;
если АÍВ, ВÍС, то АÍС;
если АÍВ, ВÍА, то А=В.
Таким образом, равенство двух множеств А и В равносильно двум включениям: АÍВ, ВÍА (А=В Û АÍВ, ВÍА). Это используется при доказательстве равенства множеств.
Нужно различать отношения принадлежности (Î) и включения (Í ). Если множество А={а1, а2, ..., аn}, то а1ÎА, но а1ËА, т.к. а1 не является подмножеством А. Однако, если ввести в рассмотрение множество А1, состоящее из одного элемента а1, А1={а1}, то А1ÍА или {а1}ÍА.
Множество, не содержащее элементов, называют пустым множествоми обозначают Æ. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 является пустым множеством. Этот простой пример иллюстрирует целесообразность введения понятия пустого множества.
Пустое множество – подмножество любого множества, т.е. ÆÍА для любого множества А. Заметим, что множество С={Æ} не является пустым, так как оно содержит элемент – Æ.
Сами множества могут быть элементами других множеств. Если А={а1, а2}, В={b1, b2}, то D={A, B} не содержит, например, в качестве элементов а1 или b1 , т.е. а1 ÏD , но АÎD, ВÎD.
Множество, элементами которого являются все возможные множества, принято называть универсальным множеством (универсумом) и обозначать U. Таким образом, считают, что для любого множества А справедливо: АÍU. Однако на практике в качестве универсального множества выбирают подходящее для данной задачи множество U. Например, если решается геометрическая задача, в которой рассматриваются только многоугольники, то имеет смысл в качестве универсального множества U выбрать множество всех многоугольников.
3. Способы задания множеств
Все непустые множества, можно разделить на конечные, которые содержат конечное число элементов, и бесконечные, которые таковыми не являются. Простейший способ задания множества – это перечисление всех его элементов (точнее, “имен” этих элементов). Например, список студентов учебной группы. Очевидно, что этим способом можно задать только конечные множества. Например, множество А – всех целых чисел на отрезке [1,3] конечно, его можно задать перечислением
А = {1,2,3}. Множество В – всех рациональных чисел этого отрезка задать перечисление нельзя, так как оно бесконечно.
Рассмотрим способы задания множеств, которые применимы к любым множествам. Множество можно задать с помощью порождающей процедуры,
т. е. указать правило, по которому из каких-то объектов строятся элементы данного множества. Например, множество натуральных чисел Nможно задать с помощью следующей порождающей процедуры:
1) 1ÎN,
2) если х Î N, то х+1Î N.
Общепринятая запись: N={1, 2, ..., n, ...} не является заданием множества N перечислением.
Еще одним способом задания множеств является задание множества с помощью характеристического свойства его элементов. Свойство, которым обладают элементы множества А и только они, называется его характеристическим свойством.
Запись А={x| P(x)}означает, что множество A состоит из тех и только тех элементов х, которые обладают некоторым свойством Р(х).
2) А={x| x – буква русского алфавита, входящая в слово «мама»}={а, м};
3) А={x| x = 2n, nÎN} – множество четных натуральных чисел.
4. Операции над множествами
Рассмотрим операции над множествами, которые представляют собой ряд правил, позволяющих получать новые множества из уже заданных.
Определение 1Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество АÈВ, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются либо элементами множества А, либо элементами множества В:
АÈВ={x| xÎA или xÎВ}.
Другими словами, в объединение АÈВ входят все элементы как множества А, так и множества В, и других элементов нет. При этом всегда: АÍАÈВ , В Í А ÈВ.
Определение 2Пересечением множеств А и В называется множество АÇВ, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются как элементами множества А, так и элементами В.
АÇВ ={x| xÎA и хÎВ}.
Другими словами, в пересечение АÇВ входят те и только те элементы множества А, которые входят в В. Если ни один элемент множества А не является элементом множества В, то АÇВ=Æ. В этом случае говорят, что множества А и В не пересекаются. Ясно, что всегда справедливы включения: АÇВÍА, АÇВÍВ.
Определение 3Разностью двух множеств А и В называется множество А\В, элементами которого являются те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В:
А\В={x| xÎA, но хÏВ}.
Пример 3. Пусть А = {1, 2, 3, а, b}, B = {а, b, c, 0, 1, 5}.Найти: АÈВ, АÇВ, А\B,В\А.
Определение 4Дополнениеммножества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат А:
.
Если U – универсальное множество, то `А = U\A. Разность Х\А={x| xÎX, xÏA }, т.е. множество всех элементов Х, которые не принадлежат А, иногда называют относительным дополнением множества А до множества Х. Отметим, что Х \ A = X Ç`А.
Для наглядного представления отношений между подмножествами универсального множества используют диаграммы Эйлера – Венна. Само универсальное множество U изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – в виде кругов, расположенных внутри прямоугольника.
На рисунке 1 представлены диаграммы Эйлера – Венна, иллюстрирующие операции над множествами:
всех тех элементов, которые не принадлежат А:
.
