Функция одной переменной при отсутствии помех

Даже этот простейший случай связан с рядом проблем и первая из них – возможность наличия комплексных корней нелинейного или трансцендентного уравнения f(x)=0. В разделе, посвященном работе с полиномами, мы привели метод Ньютона для вычисления корней полинома (в том числе комплексных) и не будем к этому возвращаться. Вычисление корней для полиномиальных уравнений связано с большими удобствами – прежде всего, возможностью вычисления всех корней без предварительной процедуры их отделения (локализации корня в некотором диапазоне значений). Эта возможность обеспечивается процедурой последовательного понижения степени полинома делением его на полином первого порядка (x–x^*), где х^* – значение уже вычисленного корня. Такое удаление из вычислительной процедуры уже вычисленных корней оказывается невыполнимым для других классов нелинейных функций и мы можем «натыкаться» на уже вычисленный корень многократно, если не выполним предварительного определения достаточно узких диапазонов размещения всех корней.

К сожалению, кроме табулирования функции и фиксации границ смены знаков или построения графиков функций современная теория ничего не предлагает. Отделение корней – это еще искусство, так как общее количество подлежащих локализации корней, скорее всего, неизвестно. Существенное упрощение задачи для полиномиальных уравнений подсказывает идею полиномиальной аппроксимации нелинейной функции с последующим вычислением корней, но мы не встречали в литературе подобных рекомендаций и не апробировали идею сами – предполагается, что неизбежные при аппроксимации погрешности не позволят получить достоверный результат.

В тех случаях, когда корни вещественны и осуществлено их предварительное отделение в конечном интервале значений (интервале неопределенности), используют описанные ниже методы.